Sebuah properti diperkirakan menghasilkan sewa bersih €8 000 tahun depan. Sewa diperkirakan tumbuh 2,5% per tahun selamanya. Tingkat pengembalian yang disyaratkan 8,5% per tahun. Tentukan nilai PV properti saat ini.
C1 = €8 000g = 2,5%r = 8,5%
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda ingin memiliki €30 000 dalam 14 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 4,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.
FV = €30 0004,2% / 12N = 168
A = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah mesin berharga €30 000 hari ini. Mesin menghasilkan €7 500 di akhir setiap tahun selama 4 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €6 000. Biaya modalnya 12%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €30 000CF = €7 500S = €6 000n = 4r = 12%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Proyek A berbiaya €20 000 dan menghasilkan €11 500, €8 000, €4 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €22 000 dan menghasilkan €6 500, €9 500, €11 500. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 8% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 9 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 3% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 3%n = 9
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 7% dan jatuh tempo dalam 4 tahun. Imbal hasil hingga jatuh temponya 4%. Tentukan durasi Macaulay D dalam tahun.
F = €1 000kupon = 7%n = 4YTM = 4%
D = tahun
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki rasio utang terhadap ekuitas (pada nilai pasar) 0,75. Biaya ekuitasnya 9%, biaya utang sebelum pajaknya 6%, dan tarif pajaknya 30%. Tentukan WACC.
D/E = 0,75re = 9%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas dengan nilai pasar €5 000 000 dan biaya ekuitas 11%. Utangnya terdiri dari 4 000 obligasi (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 6%, sisa jatuh tempo 6 tahun) yang masing-masing diperdagangkan pada €930. Tarif pajaknya 25%. Tentukan WACC, dengan memakai imbal hasil hingga jatuh tempo obligasi sebagai biaya utang sebelum pajak.
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,6923. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,6923
z =
14.Distribusi normalSulit
umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 95% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
15.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 15 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −9,5 dan simpangan baku 1,5. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.
n = 15d̄ = −9,5sd = 1,599%t(14) = 2,977
E = mmHg
16.Selang kepercayaanSulit
Diameter 16 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 8,9 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 15, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 6,262 dan 2,5% berada di atas 27,488.
n = 16s = 8,9 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 15 siswa, rata-rata nilai 33, simpangan baku 6,5. Kelompok 2: 7 siswa, rata-rata nilai 31,2, simpangan baku 6,5. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 15x̄₁ = 33s₁ = 6,5n₂ = 7x̄₂ = 31,2s₂ = 6,5
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 44 dari 80 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 32 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 32n₂ = 80
z =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 21,5.
n = 6x = 21,5
ŷ =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 133333 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang arus kas tahunan
7 500·3,037 = 22 780,12
Nilai sekarang nilai sisa
6 000/1,574 = 3 813,11
NPV
NPV = −30 000 + 22 780,12 + 3 813,11 = −€3 406,77
Jawaban
NPV = −€3 406,77
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 9,629 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 6 500 − 11 500 = −5 000
ΔCF2 = 9 500 − 8 000 = 1 500
ΔCF3 = 11 500 − 4 500 = 7 000
IRR selisih
NPVΔ(9%) = 80,65
NPVΔ(10%) = −46,58
r* = 9,629%
Jawaban
r* = 9,629%
Periksa: pada 9,629% kedua NPV bernilai €561,64.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1392 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €40,00, i = 0,015, N = 18
Nilai sekarang kupon
€40,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €626,90
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,7649 = €764,91
Harga
P = €1 391,81
Jawaban
P = €1 391,81
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: D = 3,645 tahun
Durasi: durasi Macaulay adalah waktu rata-rata tertimbang saat obligasi membayar arus kasnya, dengan nilai sekarang arus kas sebagai bobot: D = Σ t·PVₜ/P. Durasi termodifikasi D/(1 + y) memperkirakan persentase perubahan harga untuk perubahan imbal hasil yang kecil: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Nilai sekarang setiap arus kas
t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31
t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44
t = 3: 70/1,125 = 62,23, t·PV = 186,69
t = 4: 1070/1,17 = 914,64, t·PV = 3 658,56
Durasi
P = 1 108,90
D = 4 042,00/1 108,90 = 3,645
Jawaban
D = 3,645 tahun
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,943 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot dari D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·9% + 0,4286·6%·(1 − 0,3) = 6,943%
Jawaban
WACC = 6,943%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 8,704 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (58 − 70)/15 = −0,8
Jawaban
z = −0,8
11.Peluang
Jawaban: P = 0,5981
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Komplemen
P(tidak ada enam) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Jawaban
P = 0,5981
12.Peluang
Jawaban: σY = 0,6144
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,7, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Perubahan linear
σY = |0,5|·1,229 = 0,6144
Jawaban
σY = 0,6144
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,7 + 5 = 6,35.
13.Distribusi normal
Jawaban: z = 1,02
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,6923)/2 = 0,8461
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,8461 di dalam tabel dan baca z.
z = 1,02
Jawaban
z = 1,02
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 434 h
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,05
z dari tabel
z ≈ −1,64
Kembali ke satuan semula
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Jawaban
x = 434 h
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 1,153 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 14, t = 2,977
Margin galat
E = 2,977·1,5/√15 = 1,153
Jawaban
E = 1,153 mmHg
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 6,575 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 15·8,9² = 1188
Batas untuk σ²
1188/27,488 = 43,22
1188/6,262 = 189,7
Batas untuk σ
σ = √43,22 = 6,575 µm
Jawaban
σ = 6,575 µm
Selang 95% untuk σ: [6,575, 13,77] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 0,605
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (14·6,5² + 6·6,5²)/20 = 42,25
sp = 6,5
Galat baku
SE = 6,5·√(1/15 + 1/7) = 2,975
Statistik uji
t = (33 − 31,2)/2,975 = 0,605
Jawaban
t = 0,605
Dengan df = 20, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,086; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 1,9
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 44/80 = 0,55
p̂₂ = 32/80 = 0,4
p̂ = 76/160 = 0,475
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,475·0,525·(1/80 + 1/80)) = 0,07896
Statistik uji
z = (0,55 − 0,4)/0,07896 = 1,9
Jawaban
z = 1,9
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9992
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 102/6 = 17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Syy = Σ(y − ȳ)² = 220
Koefisien korelasi
r = 124/√(70·220) = 0,9992
Jawaban
r = 0,9992
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 93,17
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.