Anda butuh €10 000 dalam 10 tahun. Sebuah rekening memberi 2% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.
FV = €10 0002% / 4n = 10
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda meminjam €8 000 dengan bunga 5,4% per tahun, dimajemukkan bulanan, dan mengangsur €375 di akhir setiap bulan. Berapa bulan yang diperlukan sampai pinjaman lunas (angsuran terakhir boleh lebih kecil)? Berikan jumlah angsuran N.
P = €8 000A = €3755,4% / 12
N = angsuran
3.NPV & IRRSedang
Investasi sebesar €75 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €26 000, €34 000, €19 000, €22 000. Biaya modal 5%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €18 500, €11 000, €18 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 11 000CF3 = 18 000
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 7% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 5 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 6% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 7%YTM = 6%n = 5
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 5% jatuh tempo dalam 3 tahun dan dijual seharga €1 040. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah saham dengan beta 1,4 memiliki imbal hasil yang disyaratkan 11%. Suku bunga bebas risiko 4%. Berapa imbal hasil pasar yang diharapkan rm menurut CAPM?
β = 1,4re = 11%rf = 4%
rm = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki 2 500 000 lembar saham seharga €40,50 per lembar dan 40 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €1 000 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 3,5% dan tarif pajak 25%. Beta sahamnya 1,3, tingkat bebas risiko 4%, dan imbal hasil pasar 9%. Tentukan WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 9%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 58, 49, 12, 25, 42, 10.
n = 6
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 75. Berapa proporsi P nilai di atas 650?
μ = 500σ = 75x = 650
P =
11.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 6 orang? Urutan tidak penting.
n = 6k = 4
N =
12.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari simpangan baku σY dari Y.
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 55,5 dan 77,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 77,5
P =
14.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 70% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin70%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 16 unit memiliki rata-rata 37 dan simpangan baku s = 7. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 16x̄ = 37s = 795%t(15) = 2,131
batas atas =
16.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 11 petak, rata-rata hasil 69,5 kg, simpangan baku 8,5 kg. Kelompok petak 2: 6 petak, rata-rata 80,5 kg, simpangan baku 3,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.
Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 199 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199s = 4n = 49
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 502,9. Simpangan baku populasi 5. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 502,9σ = 5n = 2590%
U =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (5, 27) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(5, 27)
e =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 8191 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga dan jumlah periode
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·10 = 40
Nilai sekarang
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,221 = €8 191,39
Jawaban
PV = €8 191,39
2.Nilai waktu uang
Jawaban: N = 23 angsuran
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Susun ulang rumus anuitas
i = 0,0045
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,0045/375 = 0,904
Selesaikan dengan logaritma
N = −ln(0,904)/ln(1,004) = 22,48
Bulatkan ke atas ke angsuran penuh
22 angsuran penuh menyisakan sedikit saldo, yang dilunasi oleh angsuran terakhir yang lebih kecil.
N = 23
Jawaban
N = 23 angsuran
3.NPV & IRR
Jawaban: NPV = 15113 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang setiap arus kas
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 26 000/1,05 = 24 761,90
CF2/(1 + 0,05)2 = 34 000/1,103 = 30 839,00
CF3/(1 + 0,05)3 = 19 000/1,158 = 16 412,91
CF4/(1 + 0,05)4 = 22 000/1,216 = 18 099,45
Jumlahkan
NPV = €15 113,28
Jawaban
NPV = €15 113,28
NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 41,24 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(40%) = 386,30
NPV(45%) = −1 105,21
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €35,00, i = 0,03, N = 10
Nilai sekarang kupon
€35,00·(1 − 0,7441)/0,03 = €298,56
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,7441 = €744,09
Harga
P = €1 042,65
Jawaban
P = €1 042,65
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTM = 3,57 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Selesaikan secara numerik
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,57%
Jawaban
YTM = 3,57%
7.CAPM & WACC
Jawaban: rm = 9 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Premi risiko pasar
rm − rf = (11% − 4%)/1,4 = 5%
Imbal hasil pasar
rm = 4% + 5% = 9%
Jawaban
rm = 9%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 8,27 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 2
Tabel normal baku
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
11.Peluang
Jawaban: N = 15
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15
Jawaban
N = 15
12.Peluang
Jawaban: σY = 2,458
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,7, Var(X) = 1,51, σX = 1,229
Perubahan linear
σY = |−2|·1,229 = 2,458
Jawaban
σY = 2,458
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·2,7 + 10 = 4,6.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7233
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25
Luas di antara
P = Φ(1,25) − Φ(−0,95) = 0,8944 − 0,1711 = 0,7233
Jawaban
P = 0,7233
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 59,8 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,3
z dari tabel
z ≈ −0,52
Kembali ke satuan semula
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 poin
Jawaban
x = 59,8 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 40,73
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margin galat
E = 2,131·7/√16 = 3,729
Selang
37 ± 3,729 → [33,27, 40,73]
Jawaban
batas atas = 40,73
16.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 10,81 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (10·8,5² + 5·3,5²)/15 = 52,25
sp = 7,228
Margin galat
E = 2,947·7,228·√(1/11 + 1/6) = 10,81
Jawaban
E = 10,81 kg
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −1,75
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Statistik uji
t = (199 − 200)/0,5714 = −1,75
Jawaban
t = −1,75
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 504,5
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·5/√25 = 1,645
Batas selang
U = 502,9 + 1,645 = 504,5
Jawaban
U = 504,5
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9945
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 80/5 = 16
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Syy = Σ(y − ȳ)² = 284
Koefisien korelasi
r = 106/√(40·284) = 0,9945
Jawaban
r = 0,9945
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 3,324
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.