Anda menginvestasikan €5 000 dengan suku bunga nominal 4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 2 tahun.
PV = €5 0004% / 12n = 2
FV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda meminjam €10 000 dengan bunga 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan, dan mengangsur €125 di akhir setiap bulan. Berapa bulan yang diperlukan sampai pinjaman lunas (angsuran terakhir boleh lebih kecil)? Berikan jumlah angsuran N.
P = €10 000A = €1252,4% / 12
N = angsuran
3.NPV & IRRSedang
Sebuah proyek berbiaya €40 000 hari ini dan menghasilkan €16 000, €14 000, €11 500, €18 000, €16 000, €12 500 di akhir tahun 1 sampai 6. Biaya modalnya 12%. Anggap arus kas masuk merata sepanjang setiap tahun. Tentukan periode pengembalian terdiskonto DPB dalam tahun.
Proyek A berbiaya €40 000 dan menghasilkan €23 000, €15 500, €8 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €42 000 dan menghasilkan €11 000, €16 500, €23 000. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 3% dan jatuh tempo dalam 6 tahun. Imbal hasil hingga jatuh temponya berubah dari 8% menjadi 9%. Berapa besar ΔP perubahan harga obligasi?
F = €1 000kupon = 3%n = 6y1 = 8%y2 = 9%
ΔP = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 5% jatuh tempo dalam 6 tahun dan dijual seharga €950. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 5%n = 6P = €950
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah saham dengan beta 0,8 memiliki imbal hasil yang disyaratkan 9,1%. Suku bunga bebas risiko 3,5%. Berapa imbal hasil pasar yang diharapkan rm menurut CAPM?
β = 0,8re = 9,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki 1 000 000 lembar saham seharga €48,00 per lembar dan 10 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €1 020 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 3% dan tarif pajak 30%. Beta sahamnya 1,8, tingkat bebas risiko 1,5%, dan imbal hasil pasar 6%. Tentukan WACC.
β = 1,8rf = 1,5%rm = 6%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 49, 48, 32, 40, 52, 50, 26.
n = 7
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 188,8?
μ = 170σ = 15x = 188,8
P =
11.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 9 orang? Urutan tidak penting.
n = 9k = 4
N =
12.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 1. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,15Y = 2X + 1
σY =
13.Distribusi normalSedang
X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 29,5 min. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
14.Distribusi normalSulit
skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 85% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 100 poinσ = 15 poin85%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 65 dan simpangan baku s = 7. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
n = 21x̄ = 65s = 795%t(20) = 2,086
batas bawah =
16.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 11 petak, rata-rata hasil 42,5 kg, simpangan baku 1,5 kg. Kelompok petak 2: 11 petak, rata-rata 46 kg, simpangan baku 1 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 80 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 5 mm. Lini 2: sampel 60 komponen memiliki rata-rata 76,4 mm, simpangan baku diketahui 19 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).
Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 79,5. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
x̄ = 79,5σ = 15n = 3695%
L =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 21Σy = 106Σx² = 91Σy² = 2006Σxy = 323
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (16, 94) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(16, 94)
e =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 5416 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Susun ulang rumus anuitas
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,002/125 = 0,84
Selesaikan dengan logaritma
N = −ln(0,84)/ln(1,002) = 87,26
Bulatkan ke atas ke angsuran penuh
87 angsuran penuh menyisakan sedikit saldo, yang dilunasi oleh angsuran terakhir yang lebih kecil.
N = 88
Jawaban
N = 88 angsuran
3.NPV & IRR
Jawaban: DPB = 3,557 tahun
Periode pengembalian (payback period): waktu sampai arus kas kumulatif mengembalikan investasi awal. Kas dianggap masuk merata selama setiap tahun, jadi bagian terakhirnya berupa pecahan tahun. Payback sederhana mengabaikan nilai waktu uang; periode pengembalian terdiskonto memakai arus kas yang telah didiskontokan.
Arus kas terdiskonto dan kumulatif
tahun 1: 16 000/1,12 = 14 285,71 → Σ = 14 285,71
tahun 2: 14 000/1,254 = 11 160,71 → Σ = 25 446,43
tahun 3: 11 500/1,405 = 8 185,47 → Σ = 33 631,90
tahun 4: 18 000/1,574 = 11 439,33 → Σ = 45 071,23
Pecahan tahun terakhir
DPB = 3 + 6 368,10/11 439,33 = 3,557
Jawaban
DPB = 3,557 tahun
Periode pengembalian terdiskonto selalu lebih lama daripada periode pengembalian sederhana (2,87 tahun).
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 6,622 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 11 000 − 23 000 = −12 000
ΔCF2 = 16 500 − 15 500 = 1 000
ΔCF3 = 23 000 − 8 000 = 15 000
IRR selisih
NPVΔ(6%) = 163,53
NPVΔ(7%) = −97,05
r* = 6,622%
Jawaban
r* = 6,622%
Periksa: pada 6,622% kedua NPV bernilai €1 805,86.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: ΔP = −38,01 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€950 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Selesaikan secara numerik
P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67
YTM = 6,017%
Jawaban
YTM = 6,017%
7.CAPM & WACC
Jawaban: rm = 10,5 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Premi risiko pasar
rm − rf = (9,1% − 3,5%)/0,8 = 7%
Imbal hasil pasar
rm = 3,5% + 7% = 10,5%
Jawaban
rm = 10,5%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 8,286 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Nilai pasar
E = 1 000 000·€48,00 = €48 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
Biaya ekuitas (CAPM)
re = 1,5% + 1,8·4,5% = 9,6%
Bobot
V = €58 200 000, E/V = 0,8247, D/V = 0,1753
WACC
WACC = 0,8247·9,6% + 0,1753·3%·(1 − 0,3) = 8,286%
Jawaban
WACC = 8,286%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 10,06
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 1,25
Tabel normal baku
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Jawaban
P = 0,1056
11.Peluang
Jawaban: N = 126
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126
Jawaban
N = 126
12.Peluang
Jawaban: σY = 2,124
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 1,15, Var(X) = 1,128, σX = 1,062
Perubahan linear
σY = |2|·1,062 = 2,124
Jawaban
σY = 2,124
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·1,15 + 1 = 3,3.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8413
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi jumlah
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standarkan
z = (29,5 − 32)/2,5 = −1
Ekor atas
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 115,6 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,85
z dari tabel
z ≈ 1,04
Kembali ke satuan semula
x = 100 + 1,04·15 = 115,6 poin
Jawaban
x = 115,6 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 61,81
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Margin galat
E = 2,086·7/√21 = 3,186
Selang
65 ± 3,186 → [61,81, 68,19]
Jawaban
batas bawah = 61,81
16.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = −4,438 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (10·1,5² + 10·1²)/20 = 1,625
sp = 1,275
Margin galat
E = 1,725·1,275·√(1/11 + 1/11) = 0,9376
Selang
−3,5 ± 0,9376 → [−4,438, −2,562]
Jawaban
batas bawah = −4,438 kg
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 1,41
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Galat baku selisih
SE = √(5²/50 + 19²/60) = √6,517 = 2,553
Statistik uji
z = (80 − 76,4)/2,553 = 1,41
Jawaban
z = 1,41
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: L = 74,6
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,96·15/√36 = 4,9
Batas selang
L = 79,5 − 4,9 = 74,6
Jawaban
L = 74,6
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9937
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 323 − 21·106/6 = −48
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2006 − 106²/6 = 133,3
Koefisien korelasi
r = −48/√(17,5·133,3) = −0,9937
Jawaban
r = −0,9937
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 3,948
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 673/6 = 112,2
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387
Garis regresi
b = 387/70 = 5,529
a = 112,2 − 5,529·20 = 1,595
ŷ = 1,595 + 5,529·x
Nilai prediksi
ŷ = 1,595 + 5,529·16 = 90,05
Residu
e = 94 − 90,05 = 3,948
Jawaban
e = 3,948
Titik terletak di atas garis.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.