Sebuah properti diperkirakan menghasilkan sewa bersih €8 000 tahun depan. Sewa diperkirakan tumbuh 1,5% per tahun selamanya. Tingkat pengembalian yang disyaratkan 3,5% per tahun. Tentukan nilai PV properti saat ini.
C1 = €8 000g = 1,5%r = 3,5%
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
KPR sebesar €150 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 25 tahun dengan bunga 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa utang yang masih tersisa tepat setelah pembayaran di akhir tahun ke-6? Tentukan sisa pokok utang B.
P = €150 0002,4% / 12N = 300k = 72
B = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah mesin berharga €50 000 hari ini. Mesin menghasilkan €8 500 di akhir setiap tahun selama 8 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €7 500. Biaya modalnya 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €7 500n = 8r = 6%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Proyek A berbiaya €10 000 dan menghasilkan €5 500, €4 000, €2 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €15 000 dan menghasilkan €4 000, €6 000, €7 500. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 2% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 6 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 3,5% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 2%YTM = 3,5%n = 6
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan sisa jatuh tempo 20 tahun (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 7%) dijual seharga €1 249. Penerbit dapat menariknya (call) dalam 5 tahun dengan harga call €1 070. Tentukan imbal hasil hingga call YTC dalam persen.
F = €1 000kupon = 7%P = €1 249harga call = €1 070call dalam 5 tahun
YTC = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €3 000 000 dan utang senilai €3 000 000. Biaya ekuitasnya 9%, biaya utang sebelum pajaknya 6%, dan tarif pajaknya 21%. Tentukan WACC.
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 6%T = 21%
WACC = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki 2 000 000 saham yang diperdagangkan pada €46,00; nilai buku ekuitasnya €55 200 000. Perusahaan baru saja membayar dividen €2,90 per saham, dan dividen tumbuh 4% per tahun. Utangnya bernilai pasar €92 000 000 dengan biaya sebelum pajak 6%. Tarif pajaknya 28%. Tentukan WACC, dengan memakai model pertumbuhan dividen untuk biaya ekuitas.
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 82,75 dan 107,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 107,5
P =
14.Distribusi normalSulit
Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Selang kepercayaanSedang
Tekanan darah 15 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 3,6 dan simpangan baku 6,9. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata selisih.
n = 15d̄ = 3,6sd = 6,999%t(14) = 2,977
E = mmHg
16.Selang kepercayaanSulit
Diameter 16 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 15, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 6,262 dan 2,5% berada di atas 27,488.
n = 16s = 3,8 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 16 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 99,1 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 99,1s = 4n = 16
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 50 dari 200 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 23 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 23n₂ = 80
z =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3, 7) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 5(3, 7)
e =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 400000 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Angsuran bulanan
i = 0,002, N = 300
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−300) = €665,40
Nilai sekarang sisa angsuran
Apa pun yang masih terutang harus tepat dilunasi oleh sisa angsuran.
N − k = 300 − 72 = 228
B = 665,4·(1 − (1 + 0,002)−228)/0,002 = €121 733,33
Jawaban
B = €121 733,33
3.NPV & IRR
Jawaban: NPV = 7489 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang arus kas tahunan
8 500·6,21 = 52 783,25
Nilai sekarang nilai sisa
7 500/1,594 = 4 705,59
NPV
NPV = −50 000 + 52 783,25 + 4 705,59 = €7 488,84
Jawaban
NPV = €7 488,84
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 3,029 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 7 500 − 2 500 = 5 000
IRR selisih
NPVΔ(3%) = 4,59
NPVΔ(4%) = −148,21
r* = 3,029%
Jawaban
r* = 3,029%
Periksa: pada 3,029% kedua NPV bernilai €1 392,39.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 919,5 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €10,00, i = 0,0175, N = 12
Nilai sekarang kupon
€10,00·(1 − 0,8121)/0,0175 = €107,40
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,8121 = €812,06
Harga
P = €919,45
Jawaban
P = €919,45
Imbal hasil di atas tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan diskon.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTC = 2,9 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
1249 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Selesaikan secara numerik
y = 2%: €1 299,07
y = 3%: €1 243,57
YTC = 2,9%
Jawaban
YTC = 2,9%
Imbal hasil hingga jatuh temponya 5,002%. Investor obligasi premium memperkirakan obligasi itu akan ditarik, jadi imbal hasil hingga call yang lebih rendah adalah yang lebih realistis.
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,87 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·6%·(1 − 0,21) = 6,87%
Jawaban
WACC = 6,87%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 7,438 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Biaya ekuitas
D1 = 2,9·1,04 = €3,02
re = 3,016/46 + 0,04 = 10,56%
Nilai pasar
E = 2 000 000·€46,00 = €92 000 000
V = €184 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10,56% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 7,438%
Jawaban
WACC = 7,438%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 19,1
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (580 − 500)/40 = 2
Jawaban
z = 2
11.Peluang
Jawaban: σ = 1,162
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,5
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,6
Variansi
Var(X) = 7,6 − 2,5² = 1,35
σ = √1,35 = 1,162
Jawaban
σ = 1,162
12.Peluang
Jawaban: σY = 3,434
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 1,3, Var(X) = 1,31, σX = 1,145
Perubahan linear
σY = |3|·1,145 = 3,434
Jawaban
σY = 3,434
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·1,3 + 20 = 23,9.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5664
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5
Luas di antara
P = Φ(0,5) − Φ(−1,15) = 0,6915 − 0,1251 = 0,5664
Jawaban
P = 0,5664
14.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8413
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standarkan
z = (0 − 10)/10 = −1
Peluang
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Jawaban
P = 0,8413
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 5,304 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai kritis
df = 14, t = 2,977
Margin galat
E = 2,977·6,9/√15 = 5,304
Jawaban
E = 5,304 mmHg
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 2,807 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 15·3,8² = 216,6
Batas untuk σ²
216,6/27,488 = 7,88
216,6/6,262 = 34,59
Batas untuk σ
σ = √7,88 = 2,807 µm
Jawaban
σ = 2,807 µm
Selang 95% untuk σ: [2,807, 5,881] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −0,9
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Statistik uji
t = (99,1 − 100)/1 = −0,9
Jawaban
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −0,6457
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 50/200 = 0,25
p̂₂ = 23/80 = 0,2875
p̂ = 73/280 = 0,2607
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,2607·0,7393·(1/200 + 1/80)) = 0,05808
Statistik uji
z = (0,25 − 0,2875)/0,05808 = −0,6457
Jawaban
z = −0,6457
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9927
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 403/6 = 67,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 385
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2149
Koefisien korelasi
r = 385/√(70·2149) = 0,9927
Jawaban
r = 0,9927
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −2,95
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.