Sebuah anuitas membayar €1 500 di akhir setiap tahun selama 16 tahun. Suku bunganya 3% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.
A = €1 500i = 3%n = 16
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Pinjaman sebesar €15 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 5 tahun. Suku bunganya 3% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.
P = €15 0003% / 12N = 60
A = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah proyek berbiaya €50 000 hari ini dan menghasilkan €17 500 di akhir setiap tahun selama 6 tahun. Biaya modalnya 10%. Anggap arus kas masuk merata sepanjang setiap tahun. Tentukan periode pengembalian terdiskonto DPB dalam tahun.
Sebuah proyek berbiaya €10 000 dan menghasilkan €7 500, €4 500 di akhir tahun 1 sampai 2. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 4 500
IRR = %
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 6% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 8 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 4% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 6%YTM = 4%n = 8
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 3% jatuh tempo dalam 4 tahun dan dijual seharga €910. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 3%n = 4P = €910
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €10 000 000 dan utang senilai €2 000 000. Biaya ekuitasnya 8%, biaya utang sebelum pajaknya 3,5%, dan tarif pajaknya 20%. Tentukan WACC.
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas dengan nilai pasar €6 000 000 dan biaya ekuitas 10%. Utangnya terdiri dari 5 000 obligasi (nilai nominal €1 000, kupon tahunan 5%, sisa jatuh tempo 10 tahun) yang masing-masing diperdagangkan pada €962. Tarif pajaknya 25,8%. Tentukan WACC, dengan memakai imbal hasil hingga jatuh tempo obligasi sebagai biaya utang sebelum pajak.
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 53, 11, 41, 15, 30.
n = 5
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 103,2?
μ = 100σ = 8x = 103,2
P =
11.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 6 orang? Urutan tidak penting.
n = 6k = 3
N =
12.PeluangSulit
Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €10 dengan peluang 0,3 dan €250 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
taruhan = €5€10: p = 0,3€250: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribusi normalSedang
Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 45 dan 67 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 67
P =
14.Distribusi normalSulit
nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 40% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.
μ = 65 poinσ = 10 poin40%
x = poin
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 73,5 dan simpangan baku s = 6. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 15x̄ = 73,5s = 699%t(14) = 2,977
E =
16.Selang kepercayaanSulit
Diameter 15 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 14, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 5,629 dan 2,5% berada di atas 26,119.
n = 15s = 3,8 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 5 siswa, rata-rata nilai 59, simpangan baku 11,5. Kelompok 2: 9 siswa, rata-rata nilai 78,1, simpangan baku 12. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 5x̄₁ = 59s₁ = 11,5n₂ = 9x̄₂ = 78,1s₂ = 12
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 3 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 16. Tentukan ukuran sampel minimum n.
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (1,5, 22) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 22)
e =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 18842 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6232)/0,03 = 12,56
Nilai sekarang
PV = 1 500·12,56 = €18 841,65
Jawaban
PV = €18 841,65
2.Nilai waktu uang
Jawaban: A = 269,5 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Angsuran
Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €269,53
Jawaban
A = €269,53
3.NPV & IRR
Jawaban: DPB = 3,542 tahun
Periode pengembalian (payback period): waktu sampai arus kas kumulatif mengembalikan investasi awal. Kas dianggap masuk merata selama setiap tahun, jadi bagian terakhirnya berupa pecahan tahun. Payback sederhana mengabaikan nilai waktu uang; periode pengembalian terdiskonto memakai arus kas yang telah didiskontokan.
Arus kas terdiskonto dan kumulatif
tahun 1: 17 500/1,1 = 15 909,09 → Σ = 15 909,09
tahun 2: 17 500/1,21 = 14 462,81 → Σ = 30 371,90
tahun 3: 17 500/1,331 = 13 148,01 → Σ = 43 519,91
tahun 4: 17 500/1,464 = 11 952,74 → Σ = 55 472,65
Pecahan tahun terakhir
DPB = 3 + 6 480,09/11 952,74 = 3,542
Jawaban
DPB = 3,542 tahun
Periode pengembalian terdiskonto selalu lebih lama daripada periode pengembalian sederhana (2,857 tahun).
4.NPV & IRR
Jawaban: IRR = 14,35 %
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Apit IRR dari dua sisi
NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.
NPV(10%) = 537,19
NPV(15%) = −75,61
Persempit
Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.
IRR ≈ 10 + 5·537,19/(537,19 − (−75,61)) = 14,38%
tepat: NPV(14,35%) = 0 → IRR = 14,35%
Jawaban
IRR = 14,35%
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1136 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €30,00, i = 0,02, N = 16
Nilai sekarang kupon
€30,00·(1 − 0,7284)/0,02 = €407,33
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,7284 = €728,45
Harga
P = €1 135,78
Jawaban
P = €1 135,78
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: YTM = 5,572 %
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€910 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Selesaikan secara numerik
P(5%) = €929,08, P(6%) = €896,05
YTM = 5,572%
Jawaban
YTM = 5,572%
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 7,133 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·8% + 0,1667·3,5%·(1 − 0,2) = 7,133%
Jawaban
WACC = 7,133%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 7,368 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,4
Tabel normal baku
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Jawaban
P = 0,3446
11.Peluang
Jawaban: N = 20
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
Jawaban
N = 20
12.Peluang
Jawaban: E(G) = 10,5 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Hasil bersih
G: 5 (p = 0,3), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)
Nilai harapan
E(G) = 5·0,3 + 245·0,05 − 5·0,65 = 10,5 €
Jawaban
E(G) = 10,5 €
Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5565
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2
Luas di antara
P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565
Jawaban
P = 0,5565
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 62,5 poin
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,4
z dari tabel
z ≈ −0,25
Kembali ke satuan semula
x = 65 − 0,25·10 = 62,5 poin
Jawaban
x = 62,5 poin
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 4,612
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Margin galat
E = 2,977·6/√15 = 4,612
Jawaban
E = 4,612
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 2,782 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 14·3,8² = 202,2
Batas untuk σ²
202,2/26,119 = 7,74
202,2/5,629 = 35,91
Batas untuk σ
σ = √7,74 = 2,782 µm
Jawaban
σ = 2,782 µm
Selang 95% untuk σ: [2,782, 5,993] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −2,893
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (4·11,5² + 8·12²)/12 = 140,1
sp = 11,84
Galat baku
SE = 11,84·√(1/5 + 1/9) = 6,602
Statistik uji
t = (59 − 78,1)/6,602 = −2,893
Jawaban
t = −2,893
Dengan df = 12, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,179; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 286
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2,326 + 0,842)·16/3)² = 285,5
Bulatkan ke atas
n = 286
Jawaban
n = 286
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,973
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 2633 − 36·391/6 = 287
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 26723 − 391²/6 = 1243
Koefisien korelasi
r = 287/√(70·1243) = 0,973
Jawaban
r = 0,973
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −2,495
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51
Garis regresi
b = −51/17,5 = −2,914
a = 18,67 − (−2,914)·3,5 = 28,87
ŷ = 28,87 − 2,914·x
Nilai prediksi
ŷ = 28,87 + (−2,914)·1,5 = 24,5
Residu
e = 22 − 24,5 = −2,495
Jawaban
e = −2,495
Titik terletak di bawah garis.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.