Anda butuh €50 000 dalam 2 tahun. Sebuah rekening memberi 3% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.
FV = €50 0003% / 4n = 2
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menyetor €5 000 di awal setiap tahun selama 11 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 6% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-11? Tentukan FV.
A = €5 000i = 6%n = 11
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €18 000, €15 000, €14 000. Biaya modal 15%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
Proyek A berbiaya €30 000 dan menghasilkan €17 000, €11 500, €6 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €35 000 dan menghasilkan €9 000, €14 000, €18 500. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 8% dan jatuh tempo dalam 4 tahun. Imbal hasil hingga jatuh temponya berubah dari 9% menjadi 10,5%. Berapa besar ΔP perubahan harga obligasi?
F = €1 000kupon = 8%n = 4y1 = 9%y2 = 10,5%
ΔP = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 dan kupon tahunan 5% jatuh tempo dalam 7 tahun dan dijual seharga €920. Tentukan imbal hasil hingga jatuh temponya YTM dalam persen.
F = €1 000kupon = 5%n = 7P = €920
YTM = %
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €8 000 000 dan utang senilai €1 000 000. WACC-nya 12,82%, biaya utang sebelum pajaknya 4,5%, dan tarif pajaknya 25%. Tentukan biaya ekuitas re.
Sebuah perusahaan memiliki 5 000 000 lembar saham seharga €20,00 per lembar dan 10 000 obligasi yang diperdagangkan seharga €1 000 per obligasi. Biaya utang sebelum pajak 3,5% dan tarif pajak 25%. Beta sahamnya 0,8, tingkat bebas risiko 3%, dan imbal hasil pasar 7%. Tentukan WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 7%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 57, 50, 59, 18, 46, 16, 34.
n = 7
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 185.
μ = 170σ = 12x = 185
z =
11.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,35, 0,1
σ =
12.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.
Massa kantong semen saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya melebihi 403 kg. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 403 kg
P =
14.Distribusi normalSulit
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).
μ = 250σ = 5P = 75%
x = g
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 30 unit memiliki rata-rata 60 dan simpangan baku s = 15. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 30x̄ = 60s = 1599%t(29) = 2,756
E =
16.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 38. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?
σ = 38E = 395%
n =
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
7 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 9,98 dan simpangan baku selisihnya 12. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 7d̄ = 9,98sd = 12
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Dalam suatu uji klinis, 32 dari 80 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 38 dari 80 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 38n₂ = 80
z =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 4.
n = 6x = 4
ŷ =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 47099 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Suku bunga dan jumlah periode
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·2 = 8
Nilai sekarang
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,062 = €47 098,77
Jawaban
PV = €47 098,77
2.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 79350 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas biasa
((1 + 0,06)11 − 1)/0,06 = 14,97
Anuitas di muka
Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.
FV = 5 000·14,97·1,06 = €79 349,71
Jawaban
FV = €79 349,71
3.NPV & IRR
Jawaban: NPV = −8800 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang setiap arus kas
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 18 000/1,15 = 15 652,17
CF2/(1 + 0,15)2 = 15 000/1,322 = 11 342,16
CF3/(1 + 0,15)3 = 14 000/1,521 = 9 205,23
Jumlahkan
NPV = €−8 800,44
Jawaban
NPV = €−8 800,44
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 5,055 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 000 = −8 000
ΔCF2 = 14 000 − 11 500 = 2 500
ΔCF3 = 18 500 − 6 500 = 12 000
IRR selisih
NPVΔ(5%) = 14,58
NPVΔ(6%) = −246,75
r* = 5,055%
Jawaban
r* = 5,055%
Periksa: pada 5,055% kedua NPV bernilai €2 208,20.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: ΔP = −46 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Persamaan untuk imbal hasil
€920 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Selesaikan secara numerik
P(6%) = €944,18, P(7%) = €892,21
YTM = 6,456%
Jawaban
YTM = 6,456%
7.CAPM & WACC
Jawaban: re = 14 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
Bagian utang dalam WACC
0,1111·4,5%·(1 − 0,25) = 0,375%
Biaya ekuitas
re = (12,82% − 0,375%)/0,8889 = 14%
Jawaban
re = 14%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 5,875 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (185 − 170)/12 = 1,25
Jawaban
z = 1,25
11.Peluang
Jawaban: σ = 1,819
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,2 + 2·0,35 + 4·0,35 + 6·0,1 = 2,7
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,35 + 16·0,35 + 36·0,1 = 10,6
Variansi
Var(X) = 10,6 − 2,7² = 3,31
σ = √3,31 = 1,819
Jawaban
σ = 1,819
12.Peluang
Jawaban: σY = 19,47
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 29,5, Var(X) = 94,75, σX = 9,734
Perubahan linear
σY = |2|·9,734 = 19,47
Jawaban
σY = 19,47
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·29,5 + 20 = 79.
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,06681
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 400 kg, σT = 0,5·√16 = 2 kg
Standarkan
z = (403 − 400)/2 = 1,5
Peluang
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Jawaban
P = 0,06681
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 253,4 g
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
Kembali ke x
x = 250 + 0,6745·5 = 253,37 g
Jawaban
x = 253,37 g
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 7,548
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Margin galat
E = 2,756·15/√30 = 7,548
Jawaban
E = 7,548
16.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 617
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,96·38/3)² = 616,4
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 617
Jawaban
n = 617
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 12/√7 = 4,536
Statistik uji
t = 9,98/4,536 = 2,2
Jawaban
t = 2,2
Dengan df = 6, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,447; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = −0,9562
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporsi sampel
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 38/80 = 0,475
p̂ = 70/160 = 0,4375
Galat baku menurut H₀
SE = √(0,4375·0,5625·(1/80 + 1/80)) = 0,07844
Statistik uji
z = (0,4 − 0,475)/0,07844 = −0,9562
Jawaban
z = −0,9562
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9935
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 545/6 = 90,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2815
Koefisien korelasi
r = 441/√(70·2815) = 0,9935
Jawaban
r = 0,9935
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 36,6
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 265/6 = 44,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 265
Garis regresi
b = 265/70 = 3,786
a = 44,17 − 3,786·6 = 21,45
ŷ = 21,45 + 3,786·x
Prediksi
ŷ = 21,45 + 3,786·4 = 36,6
Jawaban
ŷ = 36,6
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.