Sebuah anuitas membayar €8 000 di akhir setiap tahun selama 16 tahun. Suku bunganya 6% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.
A = €8 000i = 6%n = 16
PV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda ingin memiliki €20 000 dalam 6 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 5,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.
FV = €20 0005,4% / 12N = 72
A = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah mesin berharga €30 000 hari ini. Mesin menghasilkan €4 000 di akhir setiap tahun selama 8 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €7 500. Biaya modalnya 8%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €30 000CF = €4 000S = €7 500n = 8r = 8%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Proyek A berbiaya €20 000 dan menghasilkan €11 500, €8 000, €4 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Proyek B berbiaya €22 000 dan menghasilkan €7 000, €8 500, €12 000. Tentukan tingkat persilangan r* saat kedua proyek memiliki NPV yang sama, dalam persen.
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 4% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 9 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 9% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 4%YTM = 9%n = 9
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi diperdagangkan pada €950 dengan imbal hasil hingga jatuh tempo 5% (pemajemukan tahunan) dan durasi Macaulay 7,1 tahun. Gunakan durasi termodifikasi untuk memperkirakan harga baru P jika imbal hasil turun 50 basis poin.
P0 = €950y = 5%D = 7,1Δy = −50 bp
P = €
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €8 000 000 dan utang senilai €2 000 000. Biaya ekuitasnya 8%, biaya utang sebelum pajaknya 6%, dan tarif pajaknya 30%. Tentukan WACC.
E = €8 000 000D = €2 000 000re = 8%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM & WACCSulit
Sebuah perusahaan memiliki 5 000 000 saham yang diperdagangkan pada €46,00; nilai buku ekuitasnya €138 000 000. Perusahaan baru saja membayar dividen €2,30 per saham, dan dividen tumbuh 4% per tahun. Utangnya bernilai pasar €115 000 000 dengan biaya sebelum pajak 3%. Tarif pajaknya 20%. Tentukan WACC, dengan memakai model pertumbuhan dividen untuk biaya ekuitas.
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 43, 48, 24, 37, 16, 26, 21.
n = 7
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 60?
μ = 70σ = 5x = 60
P =
11.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 2 orang dapat dipilih dari kelompok 10 orang? Urutan tidak penting.
n = 10k = 2
N =
12.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,2, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 2 jawaban benar?
n = 10p = 0,2k = 2
P =
13.Distribusi normalSedang
Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,3759. Cari z sampai dua desimal.
A = 0,3759
z =
14.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,03 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 52 dan simpangan baku s = 18,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 15x̄ = 52s = 18,590%t(14) = 1,761
batas bawah =
16.Selang kepercayaanSulit
Diameter 16 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,6 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 15, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 6,262 dan 2,5% berada di atas 27,488.
n = 16s = 3,6 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
10 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 0,76 dan simpangan baku selisihnya 1,2. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 0,76sd = 1,2
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 5 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 15. Tentukan ukuran sampel minimum n.
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 41?
n = 6ŷ = 41
x =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: PV = 80847 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Faktor anuitas
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3936)/0,06 = 10,11
Nilai sekarang
PV = 8 000·10,11 = €80 847,16
Jawaban
PV = €80 847,16
2.Nilai waktu uang
Jawaban: A = 235,8 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang arus kas tahunan
4 000·5,747 = 22 986,56
Nilai sekarang nilai sisa
7 500/1,851 = 4 052,02
NPV
NPV = −30 000 + 22 986,56 + 4 052,02 = −€2 961,43
Jawaban
NPV = −€2 961,43
4.NPV & IRR
Jawaban: r* = 9,657 %
Tingkat persilangan: tingkat diskonto saat dua proyek memiliki NPV yang sama. Tingkat ini adalah IRR dari selisih arus kasnya (B − A). Di bawahnya, proyek dengan arus kas yang lebih lambat dan lebih besar memiliki NPV lebih tinggi; di atasnya, proyek yang lain lebih unggul.
Selisih arus kas
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 7 000 − 11 500 = −4 500
ΔCF2 = 8 500 − 8 000 = 500
ΔCF3 = 12 000 − 4 500 = 7 500
IRR selisih
NPVΔ(9%) = 83,78
NPVΔ(10%) = −42,82
r* = 9,657%
Jawaban
r* = 9,657%
Periksa: pada 9,657% kedua NPV bernilai €552,96.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 696 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €20,00, i = 0,045, N = 18
Nilai sekarang kupon
€20,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €243,20
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,4528 = €452,80
Harga
P = €696,00
Jawaban
P = €696,00
Imbal hasil di atas tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan diskon.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 982,1 €
Durasi: durasi Macaulay adalah waktu rata-rata tertimbang saat obligasi membayar arus kasnya, dengan nilai sekarang arus kas sebagai bobot: D = Σ t·PVₜ/P. Durasi termodifikasi D/(1 + y) memperkirakan persentase perubahan harga untuk perubahan imbal hasil yang kecil: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Durasi termodifikasi
Dmod = 7,1/1,05 = 6,762
Perkiraan perubahan harga
%ΔP ≈ −6,762·(−0,005) = 3,381%
P ≈ 950·(1 + 0,03381) = €982,12
Jawaban
P = €982,12
Durasi adalah perkiraan linear; untuk perubahan imbal hasil yang besar, konveksitas membuat harga sebenarnya sedikit lebih tinggi.
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 7,24 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Bobot
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·8% + 0,2·6%·(1 − 0,3) = 7,24%
Jawaban
WACC = 7,24%
8.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 6,933 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Biaya ekuitas
D1 = 2,3·1,04 = €2,39
re = 2,392/46 + 0,04 = 9,2%
Nilai pasar
E = 5 000 000·€46,00 = €230 000 000
V = €345 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·9,2% + 0,3333·3%·(1 − 0,2) = 6,933%
Jawaban
WACC = 6,933%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 12,02
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −2
Tabel normal baku
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
11.Peluang
Jawaban: N = 45
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Jawaban
N = 45
12.Peluang
Jawaban: P = 0,302
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 2) = 45·0,22·0,88 = 45·0,04·0,1678 = 0,302
Jawaban
P = 0,302
13.Distribusi normal
Jawaban: z = 0,49
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0,3759)/2 = 0,6879
Baca tabel z secara terbalik
Cari 0,6879 di dalam tabel dan baca z.
z = 0,49
Jawaban
z = 0,49
14.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8554
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm
Standarkan
z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06
Peluang
P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554
Jawaban
P = 0,8554
15.Selang kepercayaan
Jawaban: batas bawah = 43,59
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Margin galat
E = 1,761·18,5/√15 = 8,412
Selang
52 ± 8,412 → [43,59, 60,41]
Jawaban
batas bawah = 43,59
16.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 2,659 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 15·3,6² = 194,4
Batas untuk σ²
194,4/27,488 = 7,072
194,4/6,262 = 31,04
Batas untuk σ
σ = √7,072 = 2,659 µm
Jawaban
σ = 2,659 µm
Selang 95% untuk σ: [2,659, 5,572] µm.
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 2,003
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Galat baku rata-rata selisih
SE = 1,2/√10 = 0,3795
Statistik uji
t = 0,76/0,3795 = 2,003
Jawaban
t = 2,003
Dengan df = 9, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,262; |t| lebih kecil, jadi H₀ tidak ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 98
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1,645 + 1,645)·15/5)² = 97,42
Bulatkan ke atas
n = 98
Jawaban
n = 98
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9105
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 53,2
Koefisien korelasi
r = −21/√(10·53,2) = −0,9105
Jawaban
r = −0,9105
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 10,89
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 163/6 = 27,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
Garis regresi
b = 249/70 = 3,557
a = 27,17 − 3,557·7 = 2,267
ŷ = 2,267 + 3,557·x
Selesaikan untuk x
x = (41 − 2,267)/3,557 = 10,89
Jawaban
x = 10,89
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. CFA® and Chartered Financial Analyst® adalah merek dagang milik CFA Institute, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems, tidak mendukungnya, dan tidak menjamin keakuratannya.