Anda menginvestasikan €8 000 dengan suku bunga nominal 3% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 8 tahun.
PV = €8 0003% / 12n = 8
FV = €
2.Nilai waktu uangSulit
Anda menabung €150 di akhir setiap bulan selama 17 tahun. Rekening memberi 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.
A = €1502,4% / 12N = 204
FV = €
3.NPV & IRRSedang
Sebuah mesin berharga €60 000 hari ini. Mesin menghasilkan €20 000 di akhir setiap tahun selama 3 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €12 000. Biaya modalnya 12%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €60 000CF = €20 000S = €12 000n = 3r = 12%
NPV = €
4.NPV & IRRSulit
Sebuah proyek berbiaya €100 000 hari ini. Arus kasnya €11 000 di akhir tahun 1 dan tumbuh 3% per tahun sampai arus kas terakhir di akhir tahun ke-10. Biaya modalnya 8%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 3%n = 10r = 8%
NPV = €
5.Harga & imbal hasil obligasiSedang
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 8% dalam dua pembayaran per semester dan jatuh tempo dalam 11 tahun. Imbal hasil hingga jatuh tempo adalah 6% per tahun. Tentukan harga P obligasi tersebut.
F = €1 000kupon = 8%YTM = 6%n = 11
P = €
6.Harga & imbal hasil obligasiSulit
Sebuah obligasi dengan nilai nominal €1 000 membayar kupon tahunan 4% dan jatuh tempo dalam 6 tahun. Imbal hasil hingga jatuh temponya 9%. Tentukan durasi Macaulay D dalam tahun.
F = €1 000kupon = 4%n = 6YTM = 9%
D = tahun
7.CAPM & WACCSedang
Sebuah perusahaan memiliki ekuitas senilai €10 000 000 dan utang senilai €5 000 000. Biaya ekuitasnya 10%, biaya utang sebelum pajaknya 3,5%, dan tarif pajaknya 28%. Tentukan WACC.
Usaha sebuah perusahaan memiliki beta tanpa leverage (beta aset) 1,1. Perusahaan merencanakan rasio utang terhadap ekuitas 0,5. Tarif pajaknya 21%, suku bunga bebas risiko 2,5%, dan premi risiko pasar 4%. Tentukan biaya ekuitas re pada struktur modal yang baru.
βU = 1,1D/E = 0,5T = 21%rf = 2,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 54, 40, 36, 11, 23, 30.
n = 6
s =
10.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di atas 66?
μ = 60σ = 10x = 66
P =
11.PeluangSedang
Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?
4 / 7
P =
12.PeluangSulit
Sebuah tes memiliki 5 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,6, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?
n = 5p = 0,6k = 4
P =
13.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 502 dan 510 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 502x2 = 510
P =
14.Distribusi normalSulit
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
15.Selang kepercayaanSedang
Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 40 ponsel, rata-rata 61,5 h, simpangan baku diketahui 16 h. Model 2: 100 ponsel, rata-rata 68 h, simpangan baku diketahui 16 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 61,5 kg, simpangan baku 7,5 kg. Kelompok petak 2: 5 petak, rata-rata 61 kg, simpangan baku 1 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 8 siswa, rata-rata nilai 74,5, simpangan baku 7,5. Kelompok 2: 8 siswa, rata-rata nilai 65,2, simpangan baku 4. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).
n₁ = 8x̄₁ = 74,5s₁ = 7,5n₂ = 8x̄₂ = 65,2s₂ = 4
t =
18.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 498,2. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
x̄ = 498,2σ = 12n = 3690%
U =
19.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 5
r =
20.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 27?
n = 6ŷ = 27
x =
3Larutan
1.Nilai waktu uang
Jawaban: FV = 10167 €
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)n. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
Nilai sekarang arus kas tahunan
20 000·2,402 = 48 036,63
Nilai sekarang nilai sisa
12 000/1,405 = 8 541,36
NPV
NPV = −60 000 + 48 036,63 + 8 541,36 = −€3 422,01
Jawaban
NPV = −€3 422,01
4.NPV & IRR
Jawaban: NPV = −16949 €
Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.
NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.
5.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: P = 1159 €
Harga obligasi: harga obligasi adalah nilai sekarang dari arus kasnya, didiskontokan dengan imbal hasil hingga jatuh tempo (YTM): kupon membentuk anuitas dan nilai nominal dibayar kembali saat jatuh tempo. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Jika imbal hasil di atas tingkat kupon, obligasi diperdagangkan di bawah nilai nominal, dan sebaliknya.
Per periode
C = €40,00, i = 0,03, N = 22
Nilai sekarang kupon
€40,00·(1 − 0,5219)/0,03 = €637,48
Nilai sekarang nilai nominal
€1 000·0,5219 = €521,89
Harga
P = €1 159,37
Jawaban
P = €1 159,37
Imbal hasil di bawah tingkat kupon, jadi obligasi dijual dengan premi.
6.Harga & imbal hasil obligasi
Jawaban: D = 5,364 tahun
Durasi: durasi Macaulay adalah waktu rata-rata tertimbang saat obligasi membayar arus kasnya, dengan nilai sekarang arus kas sebagai bobot: D = Σ t·PVₜ/P. Durasi termodifikasi D/(1 + y) memperkirakan persentase perubahan harga untuk perubahan imbal hasil yang kecil: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Nilai sekarang setiap arus kas
t = 1: 40/1,09 = 36,70, t·PV = 36,70
t = 2: 40/1,188 = 33,67, t·PV = 67,33
t = 3: 40/1,295 = 30,89, t·PV = 92,66
t = 4: 40/1,412 = 28,34, t·PV = 113,35
t = 5: 40/1,539 = 26,00, t·PV = 129,99
t = 6: 1040/1,677 = 620,12, t·PV = 3 720,71
Durasi
P = 775,70
D = 4 160,74/775,70 = 5,364
Jawaban
D = 5,364 tahun
7.CAPM & WACC
Jawaban: WACC = 7,507 %
Biaya modal: CAPM memberikan imbal hasil yang disyaratkan pemegang saham: re = rf + β·(rm − rf). Biaya modal rata-rata tertimbang menggabungkan ekuitas dan utang menurut nilai pasarnya: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), dengan V = E + D. Bunga dapat dikurangkan dari pajak, karena itu ada faktor (1 − T).
Beta berleverage (Hamada): utang membuat ekuitas lebih berisiko. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dengan βU beta usaha tanpa utang. Untuk memindahkan beta ke struktur modal lain, hilangkan dulu leverage-nya (unlever), lalu terapkan kembali (relever) pada D/E yang baru.
Beta berleverage
βL = 1,1·(1 + 0,79·0,5) = 1,535
Biaya ekuitas (CAPM)
re = 2,5% + 1,535·4% = 8,638%
Jawaban
re = 8,638%
9.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 14,76
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 0,6
Tabel normal baku
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Jawaban
P = 0,2743
11.Peluang
Jawaban: P = 0,1091
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Jawaban
P = 0,1091
12.Peluang
Jawaban: P = 0,2592
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Rumus binomial
P(X = 4) = 5·0,64·0,41 = 5·0,1296·0,4 = 0,2592
Jawaban
P = 0,2592
13.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,07877
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (502 − 500)/40 = 0,05
z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25
Luas di antara
P = Φ(0,25) − Φ(0,05) = 0,5987 − 0,5199 = 0,07877
Jawaban
P = 0,07877
14.Distribusi normal
Jawaban: x = 261,6 g
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Kembali ke x
x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g
Jawaban
x = 261,63 g
15.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 4,924 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimasi titik
x̄₁ − x̄₂ = 61,5 − 68 = −6,5
Galat baku
SE = √(16²/40 + 16²/100) = 2,993
Margin galat
E = 1,645·2,993 = 4,924
Jawaban
E = 4,924 h
Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.
16.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 6,7 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (6·7,5² + 4·1²)/10 = 34,15
sp = 5,844
Margin galat
E = 1,812·5,844·√(1/7 + 1/5) = 6,2
Selang
0,5 ± 6,2 → [−5,7, 6,7]
Jawaban
batas atas = 6,7 kg
17.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = 3,095
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians gabungan
sp² = (7·7,5² + 7·4²)/14 = 36,13
sp = 6,01
Galat baku
SE = 6,01·√(1/8 + 1/8) = 3,005
Statistik uji
t = (74,5 − 65,2)/3,005 = 3,095
Jawaban
t = 3,095
Dengan df = 14, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,145; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.
18.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: U = 501,5
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,645·12/√36 = 3,29
Batas selang
U = 498,2 + 3,29 = 501,5
Jawaban
U = 501,5
19.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = −0,9707
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 129/5 = 25,8
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46,8
Koefisien korelasi
r = −21/√(10·46,8) = −0,9707
Jawaban
r = −0,9707
20.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 16,91
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.