Rangkaian Listrik 2: rangkaian AC: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 16 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Impedansi AC & fasor

Impedansi: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frekuensi sudut: ω = 2πf
Besar dan sudut: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Hukum Ohm dalam fasor: V = I·Z

Metode

Ubah frekuensinya: ω = 2πf.
Cari setiap reaktansi: X_L = ωL dan X_C = 1/(ωC).
Jumlahkan impedansi seperti resistor, dengan Z = R + jX.
Cari besar |Z| = √(R² + X²) dan sudut φ = atan(X/R), lalu gunakan hukum Ohm dengan fasor.

Daya AC & faktor daya

Daya nyata: P = V·I·cos φ
Daya reaktif: Q = V·I·sin φ
Daya semu: S = V·I = √(P² + Q²)
Faktor daya: pf = cos φ = P/S
Kapasitor kompensasi: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Frekuensi alami: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energi: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Arus puncak: I_max = V₀√(C/L)
Faktor kualitas: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC seri: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC paralel: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Lebar pita: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Frekuensi setengah daya: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Rangkaian tangki dengan resistansi kumparan r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Peluruhan amplitudo: e^−Rt/(2L)

Metode

Cari frekuensi resonansi lebih dulu: ω₀ = 1/√(LC) dan f₀ = ω₀/(2π).
Tentukan apakah rangkaiannya seri atau paralel: seri Q = (1/R)√(L/C), paralel Q = R√(C/L).
Gunakan BW = f₀/Q untuk lebar pita, atau pintasan R/(2πL) (seri) dan 1/(2πRC) (paralel).
Pada soal energi, gunakan fakta bahwa energi total ½CV₀² tetap konstan pada rangkaian LC ideal dan berpindah antara C dan L setiap seperempat periode.

Daya tiga fasa

Hubungan Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Hubungan Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Daya nyata total: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Daya semu dan daya reaktif: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kapasitor perbaikan faktor daya: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Tegangan pada setiap kapasitor: Δ: V_L Y: V_L/√3
Daya masukan motor: P_in = P_out/η

Transien RC & RL

Konstanta waktu: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kapasitor pada DC: rangkaian terbuka; v_C tidak dapat melompat
Induktor pada DC: hubung singkat; i_L tidak dapat melompat
Keadaan tunak: t ≈ 5τ

Metode

Cari nilai awal sesaat setelah sakelar berpindah: tegangan kapasitor dan arus induktor tidak dapat melompat.
Cari nilai akhir lama setelah sakelar berpindah: kapasitor berperilaku sebagai rangkaian terbuka, induktor sebagai hubung singkat.
Cari konstanta waktu: τ = RC atau τ = L/R, dengan hambatan yang terlihat oleh kapasitor atau induktor.
Gunakan x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistansi Thévenin: R_th: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton: I_N = V_th/R_th
Arus beban: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Transfer daya maksimum: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metode

Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah V_th.
Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah R_th.
Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: V_th seri dengan R_th.
Untuk ekuivalen Norton, konversikan: I_N = V_th/R_th, dengan R_N = R_th secara paralel.

2Soal latihan

1.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 4∠70° dan z₂ = 1,5∠−95°, carilah bagian real dari w = z₁/z₂.

z₁ = 4∠70°z₂ = 1,5∠−95°

Re(w) =

2.Bilangan kompleksSulit

Akar-akar zⁿ = w dengan n = 4 dan w = 81∠−90° adalah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Carilah bagian imajiner dari z₀.

w = 81∠−90°n = 4k = 0

Im(z₀) =

3.Impedansi AC & fasorSedang

Rangkaian RLC seri dihubungkan ke sumber 10 V (rms), 500 Hz. Cari arus rms I.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

4.Impedansi AC & fasorSulit

Sebuah resistor R₁ dihubungkan seri dengan gabungan paralel R₂ dan kapasitor C, ke sumber 230 V (rms), 200 Hz. Cari besar impedansi |Z|.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 60 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

5.Daya AC & faktor dayaSedang

Sebuah beban dengan impedansi Z = 4 + j3 Ω dihubungkan ke sumber satu fase 230 V (rms). Cari daya reaktif Q yang diserapnya.

V = 230 VZ = 4 + j3 Ω

Q = var

6.Daya AC & faktor dayaSulit

Beban satu fase menyerap 45 kW pada faktor daya 0,75 tertinggal dari sumber 400 V, 50 Hz. Kapasitor yang dipasang paralel menaikkan faktor daya menjadi 0,9. Cari kapasitansi C yang diperlukan.

P = 45 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Resonansi LC, faktor Q & lebar pitaSedang

Sebuah kapasitor 220 pF yang diisi hingga 12 V berosilasi dengan induktor ideal 220 µH. Cari energi W_L yang tersimpan di induktor pada saat tegangan kapasitor 2,4 V, dalam nJ.

C = 220 pFV₀ = 12 Vv_C = 2,4 V

W_L = nJ

8.Resonansi LC, faktor Q & lebar pitaSulit

Frekuensi setengah daya suatu kurva resonansi adalah 400 kHz dan 1 MHz. Cari frekuensi resonansi sebagai rata-rata geometriknya, lalu faktor kualitas Q.

f₁ = 400 kHzf₂ = 1 MHz

Q =

9.Daya tiga fasaSedang

Beban seimbang terhubung Y dengan impedansi 18 + j24 Ω per fasa dihubungkan ke sumber tiga fasa seimbang dengan tegangan antarsaluran 400 V. Cari daya nyata total P yang diserap beban dalam kW.

V_L = 400 VZ = 18 + j24 Ω per fasa

P = kW

10.Daya tiga fasaSulit

Beban tiga fasa seimbang menyerap 100 kW pada faktor daya 0,78 tertinggal dari sumber 415 V (antarsaluran), 50 Hz. Bank kapasitor tiga fasa yang diparalel dengan beban harus menaikkan faktor daya keseluruhan menjadi 0,9 tertinggal. Daya nyatanya tetap sama. Cari daya reaktif total Q_C yang harus disuplai bank kapasitor, dalam kvar.

P = 100 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,9V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.Transien RC & RLSedang

Induktor tidak dialiri arus sebelum sakelar ditutup pada t = 0. Cari arus i pada t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

12.Transien RC & RLSulit

Tepat sebelum sakelar ditutup pada t = 0, kapasitor bertegangan 18 V dengan polaritas yang ditunjukkan. Berapa lama waktu yang diperlukan agar v_C mencapai 18,8 V? Cari t.

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 220 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

13.Thévenin & NortonSedang

Beban R_L = 20 Ω dipasang di a–b. Ganti sisa rangkaian dengan ekuivalen Thévenin-nya dan cari arus beban I_L.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.Thévenin & NortonSulit

Beban R_L = 15 Ω dipasang di a–b. Gunakan ekuivalen Thévenin untuk mencari daya P_L yang diserap beban.

V₁ = 12 VI_s = 2 AR₁ = 30 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

15.Plot Bode dan marginSedang

Filter lolos rendah RC yang ditunjukkan memiliki R = 10 kΩ, C = 1 nF. Masukan sinusoidal 48 kHz diberikan. Cari pergeseran fasa φ dari v_out relatif terhadap v_in, dalam derajat.

R = 10 kΩC = 1 nFf = 48 kHz

φ = °

16.Plot Bode dan marginSulit

Lingkar umpan balik satuan memiliki fungsi alih lingkar terbuka L(s) = K/(s(s + 1)(s + 5)). Cari penguatan K yang memberi margin penguatan 4 dB.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 5))GM = 4 dB

K =

3Larutan

1.Bilangan kompleks

Jawaban: Re(w) = −2,576

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 4 / 1,5 = 2,667

θ = 70° − (−95)° = 165°

Bentuk kartesius

Re(w) = 2,667·cos(165°) = −2,576

Im(w) = 2,667·sin(165°) = 0,6902

Re(w) = −2,576

Jawaban

Re(w) = −2,576

2.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(z₀) = −1,148

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus akar-akar

81^1/4 = 3

Argumen akar

θ₀ = (−90° + 360°·0)/4 = −22,5°

Bentuk kartesius

z₀ = 3·(cos −22,5° + j sin −22,5°) = 2,772 − j1,148

Im(z₀) = −1,148

Jawaban

Im(z₀) = −1,148

4 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 3, dengan jarak sudut 90°.

3.Impedansi AC & fasor

Jawaban: I = 0,1626 A

Rangkaian AC dengan fasor: resistor, induktor, dan kapasitor memiliki impedansi R, jωL, dan 1/(jωC), dengan ω = 2πf. Dalam seri, impedansi dijumlahkan seperti resistansi, tetapi sebagai bilangan kompleks. Arus dan tegangan rms mengikuti hukum Ohm dengan |Z|.

Reaktansi

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedansi

Dalam seri, impedansi dijumlahkan sebagai bilangan kompleks: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (59,65)²) = 61,51 Ω

Arus

Arus yang sama mengalir melalui setiap elemen rangkaian seri.

I = V/|Z| = 10/61,51 = 0,1626 A

Jawaban

I = 0,1626 A

4.Impedansi AC & fasor

Jawaban: |Z| = 85,42 Ω

Reaktansi

X_C = 1/(2π·200·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Gabungan paralel

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan kompleksnya untuk memisahkan Z_p menjadi bagian real dan imajiner.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 53,31 − j18,89 Ω

Impedansi total

Z = 30 + 53,31 − j18,89 = 83,31 − j18,89 Ω

|Z| = √(83,31² + 18,89²) = 85,42 Ω

Jawaban

|Z| = 85,42 Ω

5.Daya AC & faktor daya

Jawaban: Q = 6348 var

Daya AC: daya semu S = V·I (VA) terbagi menjadi daya nyata P = S·cos φ (W), yang melakukan kerja berguna, dan daya reaktif Q = S·sin φ (var), yang bolak-balik antara sumber dan beban. Faktor daya adalah cos φ. Kapasitor paralel memasok daya reaktif secara lokal, sehingga arus saluran turun untuk daya nyata yang sama.

Arus

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

Daya reaktif

Q = I²·X = 46²·3 = 6348 var

Jawaban

Q = 6348 var

6.Daya AC & faktor daya

Jawaban: C = 355,9 µF

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Daya nyata P tidak berubah; hanya daya reaktif yang ditarik dari sumber yang berubah.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(41,41°) = 39,69 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(25,84°) = 21,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 17,89 kvar

Kapasitansi

Kapasitor yang dipasang pada sumber memasok Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 17892/(2π·50·400²) = 355,9 µF

Jawaban

C = 355,9 µF

7.Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Jawaban: W_L = 15,21 nJ

Resonansi LC: kapasitor bermuatan yang dihubungkan ke induktor mengalirkan arus yang memuatnya ke arah sebaliknya: energi berayun antara medan listrik C (½Cv²) dan medan magnet L (½Li²) pada frekuensi alami f₀ = 1/(2π√(LC)). Tanpa resistansi, energi total ½CV₀² tetap konstan, sehingga arus puncaknya adalah I_max = V₀√(C/L). Satu periode adalah T = 1/f₀; energi berpindah dari C ke L dalam seperempatnya.

Energi total

½·2,2 × 10⁻¹⁰·12² = 1,584 × 10⁻⁸ J

Energi yang tersisa di kapasitor

½·2,2 × 10⁻¹⁰·2,4² = 6,336 × 10⁻¹⁰ J

Energi di induktor

W_L = 1,521 × 10⁻⁸ J = 15,21 nJ

Jawaban

W_L = 15,21 nJ

8.Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Jawaban: Q = 1,054

Faktor Q dan lebar pita: pada rangkaian resonan Q = 2π·(energi tersimpan)/(energi hilang per siklus). Untuk RLC seri Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); untuk RLC paralel Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Lebar pita antara frekuensi setengah daya f₁ dan f₂ (tempat daya menjadi setengah dan arus atau tegangan menjadi 1/√2 dari puncaknya) adalah BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, yaitu R/(2πL) pada rangkaian seri dan 1/(2πRC) pada rangkaian paralel. Frekuensi resonansi adalah rata-rata geometrik f₀ = √(f₁f₂), dan f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Rugi-rugi juga membuat osilasi meluruh: pada RLC seri amplitudonya turun sebagai e^−Rt/(2L).

Frekuensi resonansi

f₀ = √(400000·1 × 10⁶) = 632456 Hz

Lebar pita

BW = 1 × 10⁶ − 400000 = 600000 Hz

Faktor kualitas

Q = 632456/600000 = 1,054

Jawaban

Q = 1,054

9.Daya tiga fasa

Jawaban: P = 3,2 kW

Tegangan fasa

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Arus fasa

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω

I_ph = 230,9/30 = 7,698 A

Daya nyata total

Hanya bagian resistif dari setiap impedansi yang menyerap daya nyata.

P = 3·I_ph²·R = 3·7,698²·18 = 3,2 kW

Jawaban

P = 3,2 kW

Periksa: cos φ = R/|Z| = 0,6, dan √3·V_L·I_L·cos φ memberikan daya yang sama.

10.Daya tiga fasa

Jawaban: Q_C = 31,8 kvar

Sistem tiga fasa seimbang: pada hubungan Y (bintang) tegangan antarsaluran adalah √3 kali tegangan fasa, V_L = √3·V_ph, dan arus saluran sama dengan arus fasa. Pada hubungan Δ (delta) tegangan antarsaluran sama dengan tegangan fasa dan arus saluran adalah √3 kali arus fasa, I_L = √3·I_ph. Daya total adalah tiga kali daya satu fasa: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Perbaikan faktor daya: kapasitor menyuplai daya reaktif secara lokal, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Masing-masing dari ketiga kapasitor menyuplai Q_C/3 = V²·ω·C, dengan V tegangan pada kapasitor tersebut: V_L pada bank Δ, V_L/√3 pada bank Y.

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Daya nyata tidak berubah, sehingga setiap faktor daya menentukan daya reaktifnya: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar

Daya reaktif dari kapasitor

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,8 kvar

Jawaban

Q_C = 31,8 kvar

11.Transien RC & RL

Jawaban: i = 0,1925 A

Transien orde satu: pada rangkaian dengan satu kapasitor atau satu induktor, setiap tegangan dan arus berubah secara eksponensial dari nilai awal ke nilai akhir: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, dengan τ = RC atau τ = L/R. Setelah sekitar 5τ rangkaian sudah stabil.

Konstanta waktu dan arus akhir

Lama setelah sakelar ditutup, induktor berperilaku seperti hubung singkat, jadi arus akhir hanya ditentukan oleh R.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Arus pada waktu tertentu

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2128·(1 − e^−5/2,128) = 0,1925 A

Jawaban

i = 0,1925 A

12.Transien RC & RL

Jawaban: t = 1124 ms

Nilai awal, nilai akhir, konstanta waktu

Tegangan kapasitor tidak dapat melompat, jadi dimulai dari nilai tersimpannya dan menuju tegangan sumber.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

Selesaikan untuk waktu

18,8 = 20 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18,8 − 20)/(18 − 20) = 0,6

t = τ·ln((18 − 20)/(18,8 − 20)) = 2200·ln(1,667) = 1124 ms

Jawaban

t = 1124 ms

13.Thévenin & Norton

Jawaban: I_L = 0,1915 A

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan V_th yang seri dengan resistansi R_th. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus I_N = V_th/R_th yang paralel dengan R_th.

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,333 + 10 = 11,33 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, tidak ada arus yang mengalir di R₃, jadi tidak ada jatuh tegangan dan V_b = V_A. R₁ dan R₂ membentuk pembagi tegangan.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·4/(2+4) = 6 V

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th seri berperilaku persis seperti rangkaian asli di a–b, jadi beban melihat loop seri sederhana.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6/(11,33 + 20) = 0,1915 A

14.Thévenin & Norton

Jawaban: P_L = 29,86 W

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R₁ ∥ R₂ = 30·4/(30+4) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 30 = 33,53 Ω

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,412 + 2·3,529 = 8,471 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,471 + 2·30 = 68,47 V

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th seri berperilaku persis seperti rangkaian asli di a–b, jadi beban melihat loop seri sederhana.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 68,47/(33,53 + 15) = 1,411 A

P_L = I_L²·R_L = 1,411²·15 = 29,86 W

15.Plot Bode dan margin

Jawaban: φ = −71,66 °

Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ω_c = 1/(RC) atau R/L, dan f_c = ω_c/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) dan φ = −atan(ω/ω_c). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jω_c). Persilangan fasa ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.

Frekuensi sudut

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁹) = 100000 rad/s

f_c = 15915 Hz → f/f_c = 48000/15915 = 3,016

Fasa

φ = − atan(3,016) = −71,66°

Jawaban

φ = −71,66°

16.Plot Bode dan margin

Jawaban: K = 18,93

Persilangan fasa

(ω/1)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·5) = 2,236 rad/s

Besar pada persilangan fasa

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 25)) = K/(1·5·(1 + 5)) = K/30

Penguatan yang diperlukan

30/K = 10^4/20 = 1,585

K = 30/1,585 = 18,93

Jawaban

K = 18,93

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Rangkaian Listrik 2: rangkaian AC: paket kilat

1Rumus dan metode

Bilangan kompleks

Metode

Impedansi AC & fasor

Metode

Daya AC & faktor daya

Resonansi LC, faktor Q & lebar pita

Metode

Daya tiga fasa

Transien RC & RL

Metode

Thévenin & Norton

Metode

2Soal latihan

3Larutan

Modulus dan argumen w

Bentuk kartesius

Jawaban

Modulus akar-akar

Argumen akar

Bentuk kartesius

Jawaban

Reaktansi

Impedansi

Arus

Jawaban

Reaktansi

Gabungan paralel

Impedansi total

Jawaban

Arus

Daya reaktif

Jawaban

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Kapasitansi

Jawaban

Energi total

Energi yang tersisa di kapasitor

Energi di induktor

Jawaban

Frekuensi resonansi

Lebar pita

Faktor kualitas

Jawaban

Tegangan fasa

Arus fasa

Daya nyata total

Jawaban

Daya reaktif sebelum dan sesudah

Daya reaktif dari kapasitor

Jawaban

Konstanta waktu dan arus akhir

Arus pada waktu tertentu

Jawaban

Nilai awal, nilai akhir, konstanta waktu

Selesaikan untuk waktu

Jawaban

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Frekuensi sudut

Fasa

Jawaban

Persilangan fasa

Besar pada persilangan fasa

Penguatan yang diperlukan

Jawaban

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka

Cari R_th dengan semua sumber dimatikan

Cari V_th, tegangan rangkaian terbuka