Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 5 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 22 °C. Setelah 23 menit suhunya 19 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 20 °C?

T₀ = 5 °CT_a = 22 °CT(23) = 19 °CT = 20 °C

t = min

2.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 200 L air murni. Air garam dengan 0,2 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 4 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 30 menit?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁^2,5 x·ln x dx.

∫₁^2,5 x ln x dx

I =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (2x + 3)⁵. Tentukan f′(1).

f(x) = (2x + 3)⁵x = 1

f′(1) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 1. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 1

x =

7.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀² x³ dx dengan kaidah trapesium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Euler dengan h = 0,25 untuk y′ = e^−ty, y(0) = 0,5 untuk menaksir y₃ ≈ y(0,75).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,25

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 28,38 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(-17/-3)/23 = 0,07542 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(-17/(−2))/0,07542 = 28,38 min

Jawaban

t = 28,38 min

2.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 18,05 kg

Susun persamaannya

dm/dt = 4·0,2 − (4/200)·m = 0,8 − 0,02·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/50

Substitusikan t

m(30) = 40 + (−40)·0,5488 = 18,05 kg

Jawaban

m = 18,05 kg

3.Integral

Jawaban: I = 1,551

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Jawaban

I = 1,551

4.Integral

Jawaban: A = 0,1667

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Titik potong

x² = x → x = 0, x = 1

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Jawaban

A = 0,1667

5.Turunan

Jawaban: f′(1) = 6250

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(2x + 3)⁴·2

Substitusikan

f′(1) = 5·5⁴·2 = 6250

Jawaban

f′(1) = 6250

6.Turunan

Jawaban: x = 3

Turunan

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 4

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 3

Jawaban

x = 3

7.Metode numerik

Jawaban: |E| = 1

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Nilai eksak

I = 4

Kaidah trapesium

T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5

Galat

|E| = |5 − 4| = 1

Jawaban

|E| = 1

Galat relatif: 25%.

8.Metode numerik

Jawaban: y₃ = 1,112

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 0,5 + 0,25·(1) = 0,75

y₂ = 0,75 + 0,25·(0,829029) = 0,957257

y₃ = 0,957257 + 0,25·(0,619633) = 1,112165

Grafik

y₃ = 1,112

Jawaban

y₃ = 1,112

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations