Persamaan Diferensial: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

2Soal latihan

1.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 29 °C. Setelah 9 menit suhunya 17 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 29 °CT(9) = 17 °C

k = min⁻¹

2.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + 2y = 8e^−0,5t dengan y(0) = 5. Cari y(1).

y′ + 2y = 8e^−0,5ty(0) = 5

y(1) =

3.IntegralSedang

Hitung I = ∫₂⁸ 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

4.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x.

y = x²y = x

A =

5.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

6.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1

x =

7.Metode numerikSedang

Kelajuan sebuah kendaraan diukur setiap 2 s (tabel). Taksir jarak s yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 8 s dengan kaidah trapesium.

h = 2 sn = 4

s = m

8.Metode numerikSulit

Pakai metode Euler dengan h = 0,2 untuk y′ = t² + y², y(0) = 1 untuk menaksir y₃ ≈ y(0,6).

y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,2

y₃ =

3Larutan

1.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,07229 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−9k = -12/-23

Selesaikan untuk k

k = ln(-23/-12)/9 = 0,07229 min⁻¹

Jawaban

k = 0,07229 min⁻¹

2.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 3,19

Faktor integrasi

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 8e^1,5t

Penyelesaian umum

y = 8/1,5·e^−0,5t + C·e^−2t = 5,333·e^−0,5t + C·e^−2t

Kondisi awal

5 = 5,333 + C → C = −0,3333

Hitung nilainya

y(1) = 5,333·0,6065 + (−0,3333)·0,1353 = 3,19

Jawaban

y(1) = 3,19

3.Integral

Jawaban: I = 4,159

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 3·ln x

Substitusikan batasnya

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4,159

Jawaban

I = 4,159

4.Integral

Jawaban: A = 0,1667

Titik potong

x² = x → x = 0, x = 1

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Jawaban

A = 0,1667

5.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 0,9182

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Jawaban

f′(0,5) = 0,9182

6.Turunan

Jawaban: x = 1

Turunan

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 3

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 12: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 1

Jawaban

x = 1

7.Metode numerik

Jawaban: s = 60 m

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Jumlah berbobot

2 + 2·3 + 2·7 + 2·12 + 14 = 60

Kaidah trapesium

s = (2/2)·60 = 60 m

Jawaban

s = 60 m

8.Metode numerik

Jawaban: y₃ = 1,976

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 1 + 0,2·(1) = 1,2

y₂ = 1,2 + 0,2·(1,48) = 1,496

y₃ = 1,496 + 0,2·(2,398016) = 1,975603

Grafik

y₃ = 1,976

Jawaban

y₃ = 1,976

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations