Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP₁ = 50 kN di 1 mP₂ = 20 kN di 5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 8 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 6 m dari A dan beban merata w dari 5 m sampai ujung bebas di 10 m. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

AB = 8 mAC = 10 mP = 40 kN di 6 mw = 8 kN/m dari 5 sampai 10 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 20 kN ↓D: 30 kN ↓H: 25 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 60 kN·m di x = 1,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mM₀ = 60 kN·m searah jarum jam, di 1,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 30 kN di 5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δ_max.

P = 16 kNL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 35 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 7,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³lempung: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 8 m memiliki C_c = 0,5, C_r = 0,02, dan e₀ = 0,9. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 115 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 225 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 10 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 8 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 0,9σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 225 kPaΔσ = 10 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 19 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 6 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 7 m. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 7 mlapangan: drainase ganda

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 0,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 0,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 1,3 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 1000 m dengan diameter dalam 75 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,015 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 1,3 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 200 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,018) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 2). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium beton kasar memiliki lebar dasar 3 m dan kemiringan sisi 1,5:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 1,5 m. n Manning = 0,014 dan kemiringan dasarnya S = 0,002. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 3 my = 1,5 mz = 1,5n = 0,014S = 0,002

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium kerikil dengan lebar dasar 5 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 58 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 2,4 m. n Manning = 0,025. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 58 m³/sb = 5 my = 2,4 mz = 3n = 0,025

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 70% mengalirkan 40 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 46 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 40 L/sH = 46 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 13 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €2 000 dengan suku bunga nominal 3% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 5 tahun.

PV = €2 0003% / 12n = 5

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda menyetor €1 000 di awal setiap tahun selama 23 tahun, setoran pertama hari ini. Rekening memberi bunga 8% per tahun. Berapa saldo rekening di akhir tahun ke-23? Tentukan FV.

A = €1 000i = 8%n = 23

FV = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 4: €13 000, €17 000, €16 000, €11 000. Biaya modal 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 17 000CF₃ = 16 000CF₄ = 11 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Investasi sebesar €50 000 menghasilkan €7 000 di akhir setiap tahun selama 10 tahun. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

C₀ = €50 000CF = €7 000n = 10

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,7243. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7243

z =

30.Distribusi normalSulit

Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 55 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·1 + 20·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 15 = 55 kN

Jawaban

R_A = 55 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 12,5 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 40·7,5

R_B = 540/8 = 67,5 kN

R_A = 80 − 67,5 = 12,5 kN

Jawaban

R_A = 12,5 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 38,33 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 38,33 kN (C), GH: 61,67 kN (C), AF: 47,92 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 21,25 kN (T), BG: 14,58 kN (C), DG: 14,58 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 45 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 98,99 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 60 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 35,36 kN (C), DG: 21,21 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 42 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −12 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −12·1,5 + 60 = 42 kN·m

Jawaban

M_x = 42 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 112,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 3·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 30·5 − 3·5·2,5 = 112,5 kN·m

Jawaban

M_x = 112,5 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 4,386 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 4,386 mm

Jawaban

δ_max = 4,386 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 10,76 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 5,38 mm

Jumlahkan kedua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 10,76 mm

Jawaban

δ_max = 10,76 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 86,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Jawaban

P_cr = 86,82 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 66,32 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 66,32 mm

Jawaban

d = 66,32 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 150,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 8,729 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

badan: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·135 + 1680·60)/5280 = 111,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·30³/12 + 3600·(135 − 111,1)² = 2,32 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·120³/12 + 1680·(60 − 111,1)² = 6,409 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,32 × 10⁶ + 6,409 × 10⁶ = 8,729 × 10⁶ mm⁴ = 8,729 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 8,729 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 138,6 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

badan: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·115 + 1600·50)/6400 = 98,75 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·30³/12 + 4800·(115 − 98,75)² = 1,627 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·100³/12 + 1600·(50 − 98,75)² = 5,136 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,627 × 10⁶ + 5,136 × 10⁶ = 6,763 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 130 − 98,75 = 31,25 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·31,25/6,763 × 10⁶ = 138,6 MPa

Jawaban

σ_atas = 138,6 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 19,62 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Jawaban

u = 19,62 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 82,6 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·3 + 20,5·1 + 17,5·3,5 = 126,8 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 126,8 − 44,15 = 82,6 kPa

Jawaban

σ′ = 82,6 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 3,049 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 115 + 10 = 125 kPa ≤ 225 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·8/(1 + 0,9)·log₁₀(125/115) = 3,049 mm

Jawaban

S = 3,049 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 565,6 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 7/2 = 3,5 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 6·(3,5/0,0095)² = 814404 min

t_field = 814404/1440 = 565,6 hari

Jawaban

t = 565,6 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 55,18 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·4,5 = 55,18 kN

Jawaban

F = 55,18 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 34,76 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,25·2,25 = 34,76 kN

Jawaban

F = 34,76 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 169 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(1000/0,075)·1,3²/(2·9,81) = 17,23 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·17,23 = 169000 Pa = 169 kPa

Jawaban

Δp = 169 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 6,42 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·200/0,2 = 18

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 18 + 3,1)·0,2905 = 6,42 m

Jawaban

H = 6,42 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 24,08 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (3 + 1,5·1,5)·1,5 = 7,875 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,5·√(1 + 1,5²) = 8,408 m

R = A/P = 0,9366 m

Kecepatan

V = (1/0,014)·0,9366^2/3·0,002^1/2 = 3,058 m/s

Debit

Q = A·V = 7,875·3,058 = 24,08 m³/s

Jawaban

Q = 24,08 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,001493 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·2,4)·2,4 = 29,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 20,18 m

R = A/P = 1,451 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·58/(29,28·1,282) = 0,03864

S = 0,03864² = 0,001493

Jawaban

S = 0,001493

Itu penurunan 1,493 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 25,79 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·46 = 18,05 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 18,05/0,7 = 25,79 kW

Jawaban

P_shaft = 25,79 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 18,7 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11,25 + 6)·0,3305 = 5,701 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 13 + 5,701 = 18,7 m

Jawaban

H = 18,7 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 2323 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·5 = 60

Nilai masa depan

FV = 2 000·(1 + 0,0025)⁶⁰ = 2 000·1,162 = €2 323,23

Jawaban

FV = €2 323,23

26.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 65765 €

Faktor anuitas biasa

((1 + 0,08)²³ − 1)/0,08 = 60,89

Anuitas di muka

Setiap setoran diinvestasikan satu tahun lebih lama.

FV = 1 000·60,89·1,08 = €65 764,76

Jawaban

FV = €65 764,76

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = 4541 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 13 000/1,06 = 12 264,15

CF₂/(1 + 0,06)² = 17 000/1,124 = 15 129,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 16 000/1,191 = 13 433,91

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 11 000/1,262 = 8 713,03

Jumlahkan

NPV = €4 541,03

Jawaban

NPV = €4 541,03

NPV positif, jadi proyek menghasilkan lebih dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 6,637 %

Faktor anuitas yang diperlukan

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 50 000/7 000 = 7,143

Selesaikan untuk suku bunga

Faktor anuitas turun saat suku bunga naik; apit suku bunganya lalu persempit.

i = 6%: 7,36

i = 7%: 7,024

IRR = 6,637%

Jawaban

IRR = 6,637%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,09

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,7243)/2 = 0,8621

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8621 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,09

Jawaban

z = 1,09

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7389

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standarkan

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Peluang

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Jawaban

P = 0,7389

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil