Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP₁ = 45 kN di 1,5 mP₂ = 50 kN di 3 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 7 m dari A, miring 60° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 1 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.

L = 10 mP = 45 kN di 7 m, θ = 60°Q = 20 kN di 1 m

α = °

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 30 kNbeban horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2,5 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 30 kN di 2,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 2,5 m

M_A = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x₀ dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 4 mw = 6 kN/m dari 1 sampai 4 m

x₀ = m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 20 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 20 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 140 mm dan setebal 14 mm, tinggi total 460 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 80 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 140 mmH = 460 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 3 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³lempung: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 8 m memiliki C_c = 0,3, C_r = 0,03, dan e₀ = 1. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 55 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 3. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 100 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 8 mC_c = 0,3C_r = 0,03e₀ = 1σ′₀ = 55 kPaOCR = 3Δσ = 100 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 19 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 15 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 3,5 m. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 19 mmt_lab = 15 minH = 3,5 mlapangan: drainase tunggal

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 1,9 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 50 m dengan diameter dalam 150 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,015 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 1,9 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 100 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02. Permukaan air reservoir atas berada 27 m di atas permukaan reservoir bawah. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 4 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 0,2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari debit Q dalam L/s.

Δz = 27 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang pasangan bata selebar 6 m. Air mengalir seragam sedalam 2,5 m. n Manning = 0,015 dan kemiringan dasarnya S = 0,002. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 6 my = 2,5 mn = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran trapesium beton kasar dengan lebar dasar 5 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal) harus mengalirkan 34 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,4 m. n Manning = 0,014. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 34 m³/sb = 5 my = 1,4 mz = 3n = 0,014

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 72% mengalirkan 10 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 58 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 10 L/sH = 58 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 26 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 200 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 80 L/sΔz = 26 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah properti diperkirakan menghasilkan sewa bersih €12 000 tahun depan. Sewa diperkirakan tumbuh 2,5% per tahun selamanya. Tingkat pengembalian yang disyaratkan 8,5% per tahun. Tentukan nilai PV properti saat ini.

C₁ = €12 000g = 2,5%r = 8,5%

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda ingin memiliki €20 000 dalam 8 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 4,8% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.

FV = €20 0004,8% / 12N = 96

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €250 000 hari ini. Proyek menghasilkan €14 000 di akhir tahun pertama, lalu arus kasnya tumbuh 2% per tahun selamanya. Biaya modalnya 8%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €14 000g = 2%r = 8%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €9 500, €8 000, €8 500 di akhir tahun 1 sampai 3. Arus kas dapat diinvestasikan kembali pada biaya modal 12%. Tentukan tingkat pengembalian internal termodifikasi MIRR dalam persen.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 8 000CF₃ = 8 500

MIRR = %

29.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 169,6 dan 179,4 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 179,4

P =

30.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 95% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin95%

x = poin

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 51,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 50·3

R_B = 217,5/5 = 43,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 43,5 = 51,5 kN

Jawaban

R_A = 51,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: α = 52,85 °

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

P_v = 45·sin 60° = 38,97 kN

P_h = 45·cos 60° = 22,5 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·10 = 38,97·7 + 20·1 → R_B = 29,28 kN

A_y = 38,97 + 20 − 29,28 = 29,69 kN

A_x = P_h = 22,5 kN

Arah di A

α = atan(A_y/A_x) = atan(29,69/22,5) = 52,85°

Jawaban

α = 52,85°

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 23,33 kN (T), BC: 46,67 kN (T), CD: 46,67 kN (T), DE: 43,33 kN (T), FG: 23,33 kN (C), GH: 43,33 kN (C), AF: 29,17 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 29,17 kN (C), DG: 4,167 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −3,727 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·2 − 25·2 → C_y = 1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 1,667 = 28,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,667/0,4472 = −3,727 kN

Jawaban

F_BC = −3,727 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −84,38 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −30·2,5 = −75 kN·m

w: −3·2,5²/2 = −9,375 kN·m

M_A = −75 − 9,375 = −84,38 kN·m

Jawaban

M_A = −84,38 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x₀ = 2,125 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·3·2,5

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 11,25 = 6,75 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 6,75/6 = 2,125 m

Jawaban

x₀ = 2,125 m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 8,411 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 8,411 mm

Jawaban

δ_max = 8,411 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·11000·5,556) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 34,09 × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 16,45 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16,45 kN

Jawaban

P_cr = 16,45 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 44,35 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,35 mm

Jawaban

d = 44,35 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 225,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 29,99 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

badan: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·190 + 3240·90)/9240 = 154,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·20³/12 + 6000·(190 − 154,9)² = 7,577 × 10⁶ mm⁴

badan: 18·180³/12 + 3240·(90 − 154,9)² = 2,241 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,577 × 10⁶ + 2,241 × 10⁷ = 2,999 × 10⁷ mm⁴ = 29,99 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 29,99 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 65,91 MPa

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 460 − 2·14 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·460³ − 130·432³)/12

I_x = 2,622 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 230 − 14 = 216 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·216/2,622 × 10⁸ = 65,91 MPa

Jawaban

σ_j = 65,91 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 43,19 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 19·1 = 53 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 53 − 9,81 = 43,19 kPa

Jawaban

σ′ = 43,19 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 74,35 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15·2 + 20,5·2 + 19·2,5 = 118,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 118,5 − 44,15 = 74,35 kPa

Jawaban

σ′ = 74,35 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 54 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·55 = 165 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 55 + 100 = 155 kPa ≤ 165 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·8/(1 + 1)·log₁₀(155/55) = 54 mm

Jawaban

S = 54 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 1414 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 3,5 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 15·(3,5/0,0095)² = 2,036 × 10⁶ min

t_field = 2,036 × 10⁶/1440 = 1414 hari

Jawaban

t = 1414 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 193,1 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Jawaban

F = 193,1 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 239,1 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·7,5 = 239,1 kN

Jawaban

F = 239,1 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 9,025 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,15)·1,9²/(2·9,81) = 0,92 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,92 = 9025 Pa = 9,025 kPa

Jawaban

Δp = 9,025 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Q = 37,77 L/s

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Persamaan energi

Kedua permukaan terbuka ke udara dan praktis diam, sehingga seluruh Δz hilang di dalam pipa.

27 = (20 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·27/22,9) = 4,81 m/s

Debit

Q = V·π·D²/4 = 4,81·0,007854 = 0,03777 m³/s = 37,77 L/s

Jawaban

Q = 37,77 L/s

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 54,99 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 6·2,5 = 15 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2,5 = 11 m

R = A/P = 1,364 m

Kecepatan

V = (1/0,015)·1,364^2/3·0,002^1/2 = 3,666 m/s

Debit

Q = A·V = 15·3,666 = 54,99 m³/s

Jawaban

Q = 54,99 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,001505 m/m

Geometri

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,4)·1,4 = 12,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 13,85 m

R = A/P = 0,9297 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·34/(12,88·0,9525) = 0,0388

S = 0,0388² = 0,001505

Jawaban

S = 0,001505

Itu penurunan 1,505 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 7,902 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·58 = 5,69 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 5,69/0,72 = 7,902 kW

Jawaban

P_shaft = 7,902 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 65,56 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,3305 = 19,17 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 26 + 20,39 + 19,17 = 65,56 m

Jawaban

H = 65,56 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 200000 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Perpetuitas bertumbuh

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,085 − 0,025) = 12 000/0,06 = €200 000,00

Jawaban

PV = €200 000,00

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 171,3 €

Suku bunga bulanan dan jumlah setoran

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

Setoran

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,004/(1,467 − 1) = €171,30

Jawaban

A = €171,30

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −16667 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai arus kas

PV = 14 000/(0,08 − 0,02) = 233 333,33

NPV

NPV = 233 333,33 − 250 000 = −€16 666,67

Jawaban

NPV = −€16 666,67

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: MIRR = 13,67 %

IRR termodifikasi: majemukkan setiap arus masuk ke depan sampai akhir proyek pada tingkat reinvestasi (biasanya biaya modal) untuk mendapatkan nilai akhir TV. MIRR adalah tingkat yang mengubah investasi awal menjadi TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Nilai akhir arus masuk

9 500·1,12² = 11 916,80

8 000·1,12¹ = 8 960,00

8 500·1,12⁰ = 8 500,00

TV = 29 376,80

MIRR

MIRR = (29 376,80/20 000)^1/3 − 1 = 13,67%

Jawaban

MIRR = 13,67%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4642

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(−1,2) = 0,5793 − 0,1151 = 0,4642

Jawaban

P = 0,4642

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 48,6 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,05

z dari tabel

z ≈ −1,64

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 poin

Jawaban

x = 48,6 poin

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil