Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 9 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 10 mP = 60 kN di 9 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 10 m

M_A = kN·m

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP = 20 kN di 1 mw = 6 kN/m dari 3 sampai 4 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

F: 25 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 7 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 5 kN →

F_BC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 3 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 3 mP = 40 kN di 3 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 3 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 3 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 18 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 2,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 20 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 20 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³

u = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 8,5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15,5 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 5,5 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,04, dan e₀ = 0,65. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 55 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 190 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 5,5 mC_c = 0,25C_r = 0,04e₀ = 0,65σ′₀ = 55 kPaOCR = 2Δσ = 190 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 3 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 2 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 70% faktor waktunya T_v = 0,403. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 70%?

H = 3 mc_v = 2 m²/tahunU = 70%T_v = 0,403drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 2,5 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air (ρ = 1000 kg/m³) mengalir dengan kecepatan 1,7 m/s melalui pipa horizontal sepanjang 800 m dengan diameter dalam 200 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,028 dan g = 9,81 m/s². Cari penurunan tekanan Δp sepanjang pipa dalam kPa.

V = 1,7 m/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 2), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium kerikil memiliki lebar dasar 2 m dan kemiringan sisi 1,5:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 2,2 m. n Manning = 0,025 dan kemiringan dasarnya S = 0,002. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 2 my = 2,2 mz = 1,5n = 0,025S = 0,002

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran persegi panjang beton halus selebar 4 m harus mengalirkan 6,4 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 0,5 m. n Manning = 0,012. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 6,4 m³/sb = 4 my = 0,5 mn = 0,012

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 100 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 52 m sementara porosnya menyerap 62,2 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 100 L/sH = 52 mP_shaft = 62,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 120 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 7 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 5 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 75%. Cari daya poros P_shaft dalam kW.

Q = 120 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

25.Nilai waktu uangSedang

Sebuah anuitas membayar €1 000 di akhir setiap tahun selama 9 tahun. Suku bunganya 10% per tahun. Tentukan nilai sekarang PV anuitas tersebut.

A = €1 000i = 10%n = 9

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda ingin memiliki €75 000 dalam 10 tahun. Anda menabung jumlah yang sama di akhir setiap bulan di rekening yang memberi bunga 7,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan setoran bulanan A.

FV = €75 0007,2% / 12N = 120

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah proyek berbiaya €50 000 hari ini dan menghasilkan €16 500, €14 500, €20 500, €15 000, €15 500, €17 000 di akhir tahun 1 sampai 6. Biaya modalnya 6%. Anggap arus kas masuk merata sepanjang setiap tahun. Tentukan periode pengembalian terdiskonto DPB dalam tahun.

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 16 500CF₂ = 14 500CF₃ = 20 500CF₄ = 15 000CF₅ = 15 500CF₆ = 17 000

DPB = tahun

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €50 000 dan menghasilkan €18 000, €30 000, €35 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −50 000CF₁ = 18 000CF₂ = 30 000CF₃ = 35 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,8501. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8501

z =

30.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 97,5% data (persentil ke-97,5).

μ = 500σ = 40P = 97,5%

x = h

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 940 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 60·9 + 80·5 = 940 kN·m

Jawaban

M_A = 940 kN·m

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 17,8 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1 + 6·1·3,5

R_B = 41/5 = 8,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 8,2 = 17,8 kN

Jawaban

R_A = 17,8 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 14,06 kN (T), BC: 9,375 kN (T), CD: 9,375 kN (T), DE: 4,687 kN (T), FG: 14,06 kN (C), GH: 4,687 kN (C), AF: 23,44 kN (C), HE: 7,812 kN (C), BF: 6,25 kN (C), CG: 0, DH: 6,25 kN (T), BG: 7,812 kN (T), DG: 7,812 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −25,13 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 + 5·4 → C_y = 24,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 24,38 = 0,625 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −24,38/0,9701 = −25,13 kN

Jawaban

F_BC = −25,13 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −137,5 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −40·2,5 = −100 kN·m

w: −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m

M_x = −100 − 37,5 = −137,5 kN·m

Jawaban

M_x = −137,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 13,23 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·3·1,5

R_B = 27/5 = 5,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 5,4 = 12,6 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 12,6/6 = 2,1 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 12,6·2,1 − 6·2,1²/2 = 13,23 kN·m

Jawaban

M_max = 13,23 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 4,545 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1000²·2000²/(3·1,76 × 10¹²·3000) = 4,545 mm

Jawaban

δ_P = 4,545 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 156,5 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3000⁴/(384·11000·10) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/75)^1/3 = 156,5 mm

Jawaban

h_req = 156,5 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,395 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4,395 kN

Jawaban

P_cr = 4,395 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 35,85 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 35,85 mm

Jawaban

d = 35,85 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 223,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 12,62 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

badan: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·150 + 2240·70)/5840 = 119,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·20³/12 + 3600·(150 − 119,3)² = 3,51 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·140³/12 + 2240·(70 − 119,3)² = 9,106 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,51 × 10⁶ + 9,106 × 10⁶ = 1,262 × 10⁷ mm⁴ = 12,62 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 12,62 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 223,5 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·150 − 1500·120)/(30000 − 1500) = 151,6 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·300³/12 + 30000·−1,579² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·−31,58² = 1,608 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 223,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 223,5 × 10⁶ mm⁴

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 68,67 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Jawaban

u = 68,67 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 144 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 15,5·4 + 18,5·2 + 18·2,5 = 144 kPa

Jawaban

σ = 144 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 329,9 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·55 = 110 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 55 + 190 = 245 kPa > 110 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,04·5,5/(1 + 0,65)·log₁₀(110/55) + 0,25·5,5/(1 + 0,65)·log₁₀(245/110)

S = 40,14 + 289,8 = 329,9 mm

Jawaban

S = 329,9 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 0,4534 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 3/2 = 1,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1,5²/2 = 0,4534 tahun

Jawaban

t = 0,4534 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 77,25 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN

Jawaban

F = 77,25 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 3,889 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·7,5 = 275,9 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Jawaban

y_cp = 3,889 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δp = 161,8 kPa

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kehilangan head

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,2)·1,7²/(2·9,81) = 16,5 m

Penurunan tekanan

Pipa horizontal dan kecepatannya tidak berubah, sehingga persamaan energi menjadi Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·16,5 = 161840 Pa = 161,8 kPa

Jawaban

Δp = 161,8 kPa

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 12,99 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Kehilangan head total

h_f = 18·0,5876 = 10,58 m

h_m = 4,1·0,5876 = 2,409 m

Δz = h_f + h_m = 12,99 m

Jawaban

Δz = 12,99 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 23,21 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·2,2)·2,2 = 11,66 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2,2·√(1 + 1,5²) = 9,932 m

R = A/P = 1,174 m

Kecepatan

V = (1/0,025)·1,174^2/3·0,002^1/2 = 1,991 m/s

Debit

Q = A·V = 11,66·1,991 = 23,21 m³/s

Jawaban

Q = 23,21 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,005003 m/m

Geometri

A = b·y = 4·0,5 = 2 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0,5 = 5 m

R = A/P = 0,4 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·6,4/(2·0,5429) = 0,07073

S = 0,07073² = 0,005003

Jawaban

S = 0,005003

Itu penurunan 5,003 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 82,01 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·52 = 51,01 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 51,01/62,2 = 82,01%

Jawaban

η = 82,01%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 16,82 kW

Kecepatan

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,2 + 5)·0,3046 = 3,716 m

Head pompa

H = Δz + h_L = 7 + 3,716 = 10,72 m

Daya poros

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·10,72/0,75 = 16,82 kW

Jawaban

P_shaft = 16,82 kW

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 5759 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Faktor anuitas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4241)/0,1 = 5,759

Nilai sekarang

PV = 1 000·5,759 = €5 759,02

Jawaban

PV = €5 759,02

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 428,6 €

Suku bunga bulanan dan jumlah setoran

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·10 = 120

Setoran

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,006/(2,05 − 1) = €428,56

Jawaban

A = €428,56

27.NPV & IRR

Jawaban: DPB = 3,363 tahun

Periode pengembalian (payback period): waktu sampai arus kas kumulatif mengembalikan investasi awal. Kas dianggap masuk merata selama setiap tahun, jadi bagian terakhirnya berupa pecahan tahun. Payback sederhana mengabaikan nilai waktu uang; periode pengembalian terdiskonto memakai arus kas yang telah didiskontokan.

Arus kas terdiskonto dan kumulatif

tahun 1: 16 500/1,06 = 15 566,04 → Σ = 15 566,04

tahun 2: 14 500/1,124 = 12 904,95 → Σ = 28 470,99

tahun 3: 20 500/1,191 = 17 212,20 → Σ = 45 683,18

tahun 4: 15 000/1,262 = 11 881,40 → Σ = 57 564,59

Pecahan tahun terakhir

DPB = 3 + 4 316,82/11 881,40 = 3,363

Jawaban

DPB = 3,363 tahun

Periode pengembalian terdiskonto selalu lebih lama daripada periode pengembalian sederhana (2,927 tahun).

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 26,83 %

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(25%) = 1 520,00

NPV(30%) = −2 471,55

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 25 + 5·1 520,00/(1 520,00 − (−2 471,55)) = 26,9%

tepat: NPV(26,83%) = 0 → IRR = 26,83%

Jawaban

IRR = 26,83%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,44

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,8501)/2 = 0,9251

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9251 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,44

Jawaban

z = 1,44

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 578,4 h

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Kembali ke x

x = 500 + 1,96·40 = 578,4 h

Jawaban

x = 578,4 h

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil