Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP₁ = 40 kN di 3 mP₂ = 55 kN di 4 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 5 mP = 10 kN di 1,5 mw = 10 kN/m dari 1 sampai 2 m

R_B = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 40 kN

F_AC = kN

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 10 kN ↓D: 10 kN ↓H: 20 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari gaya geser V_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP = 70 kN di 5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan δ_mid di tengah bentang.

P = 21 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 16 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 3,5 m memiliki C_c = 0,35, C_r = 0,06, dan e₀ = 1,1. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 85 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 135 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 200 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 3,5 mC_c = 0,35C_r = 0,06e₀ = 1,1σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 135 kPaΔσ = 200 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 2,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 1,2 m²/tahun. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Untuk konsolidasi rata-rata 90% faktor waktunya T_v = 0,848. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 90%?

H = 2,5 mc_v = 1,2 m²/tahunU = 90%T_v = 0,848drainase tunggal

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi air laut, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari kedalaman y_cp pusat tekanan di bawah permukaan.

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1,8 m/s melalui pipa sepanjang 400 m dengan diameter dalam 250 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,02 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 1,8 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Dua reservoir terbuka dihubungkan oleh pipa sepanjang 150 m dengan diameter dalam 250 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), sebuah katup (K = 10), dan lubang keluar ke reservoir bawah (K = 1,0). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa selisih muka air Δz antara kedua reservoir yang menghasilkan debit 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran persegi panjang tanah berlapis rumput selebar 4,5 m. Air mengalir seragam sedalam 0,6 m. n Manning = 0,03 dan kemiringan dasarnya S = 0,004. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 4,5 my = 0,6 mn = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran persegi panjang beton halus selebar 5,5 m harus mengalirkan 35 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 2,3 m. n Manning = 0,012. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 35 m³/sb = 5,5 my = 2,3 mn = 0,012

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Sebuah pompa dengan efisiensi 75% mengalirkan 10 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 46 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros P_shaft yang diperlukan, dalam kW.

Q = 10 L/sH = 46 mη = 75%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 11 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,015; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 30 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €5 000 dengan suku bunga nominal 2% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 7 tahun.

PV = €5 0002% / 4n = 7

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €150 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 20 tahun. Suku bunganya 3,6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €150 0003,6% / 12N = 240

A = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah mesin berharga €50 000 hari ini, bertahan 9 tahun, dan biaya operasinya €2 000 per tahun (dibayar di akhir setiap tahun). Biaya modalnya 8%. Tentukan biaya tahunan ekuivalennya EAC.

C₀ = €50 000M = €2 000n = 9r = 8%

EAC = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €12 500, €11 000 di akhir tahun 1 sampai 2. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 11 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,8888. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,8888

z =

30.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 52,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 55·4

R_B = 340/8 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 42,5 = 52,5 kN

Jawaban

R_A = 52,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 6 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,5 + 10·1·1,5

R_B = 30/5 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 6 = 14 kN

Jawaban

R_B = 6 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 15 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,8944 = −33,54 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33,54)·0,4472 = 15 kN

Jawaban

F_AC = 15 kN (tarik)

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 7,5 kN (C), BC: 7,5 kN (C), CD: 2,5 kN (T), DE: 2,5 kN (T), FG: 17,5 kN (C), GH: 17,5 kN (C), AF: 20,83 kN (C), HE: 4,167 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 8,333 kN (T), HC: 8,333 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: V_x = 30 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri potongan)

V_x = 36 − 12·0,5 = 30 kN

Jawaban

V_x = 30 kN

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 63,33 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·5 + 2·6·3

R_B = 386/6 = 64,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 64,33 = 17,67 kN

Di mana V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 7,667 kN

V(5⁺) = 7,667 − 70 = −62,33 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 17,67·5 − 2·5²/2 = 63,33 kN·m

Jawaban

M_max = 63,33 kN·m

Terjadi di x = 5 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 1,071 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·2000³/(3·1,68 × 10¹³) = 0,4762 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 0,5952 mm

Jumlahkan

δ = 0,4762 + 0,5952 = 1,071 mm

Jawaban

δ = 1,071 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_mid = 2,292 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan tengah bentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·8,4 × 10¹²) = 2,292 mm

Jawaban

δ_mid = 2,292 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 19,31 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1400² = 19311 N = 19,31 kN

Jawaban

P_cr = 19,31 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,218 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,218 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 706,9·90)/(15000 − 706,9) = 74,26 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·0,7418² = 28,13 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,74² = 0,2149 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 49,08 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

badan: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·287,5 + 2240·140)/4040 = 205,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·15³/12 + 1800·(287,5 − 205,7)² = 1,207 × 10⁷ mm⁴

badan: 8·280³/12 + 2240·(140 − 205,7)² = 2,431 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,207 × 10⁷ + 2,431 × 10⁷ = 3,638 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 295 − 205,7 = 89,28 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·89,28/3,638 × 10⁷ = 49,08 MPa

Jawaban

σ_atas = 49,08 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 81,38 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 18,5·2 = 101 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 101 − 19,62 = 81,38 kPa

Jawaban

σ′ = 81,38 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 60,95 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 17·1 + 19,5·2 + 18·3 = 110 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 110 − 49,05 = 60,95 kPa

Jawaban

σ′ = 60,95 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 209,4 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 85 + 200 = 285 kPa > 135 kPa

Penurunan

Rekompresi sampai σ′_p, kompresi murni setelahnya.

S = 0,06·3,5/(1 + 1,1)·log₁₀(135/85) + 0,35·3,5/(1 + 1,1)·log₁₀(285/135)

S = 20,09 + 189,3 = 209,4 mm

Jawaban

S = 209,4 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 4,417 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H = 2,5 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·2,5²/1,2 = 4,417 tahun

Jawaban

t = 4,417 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 39,24 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Jawaban

F = 39,24 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: y_cp = 3,524 m

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·3 = 105,6 kN

Pusat tekanan

Tekanan bertambah dengan kedalaman, jadi resultan bekerja di bawah titik berat.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0,25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 0,25/(3,5·3) = 3,524 m

Jawaban

y_cp = 3,524 m

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 5,284 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,8²/(2·9,81) = 0,1651 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 5,284 m

Jawaban

h_f = 5,284 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: Δz = 1,354 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Kehilangan head total

h_f = 13,2·0,05288 = 0,698 m

h_m = 12,4·0,05288 = 0,6557 m

Δz = h_f + h_m = 1,354 m

Jawaban

Δz = 1,354 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 3,459 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = b·y = 4,5·0,6 = 2,7 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,6 = 5,7 m

R = A/P = 0,4737 m

Kecepatan

V = (1/0,03)·0,4737^2/3·0,004^1/2 = 1,281 m/s

Debit

Q = A·V = 2,7·1,281 = 3,459 m³/s

Jawaban

Q = 3,459 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,0008165 m/m

Geometri

A = b·y = 5,5·2,3 = 12,65 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·2,3 = 10,1 m

R = A/P = 1,252 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·35/(12,65·1,162) = 0,02857

S = 0,02857² = 0,0008165

Jawaban

S = 0,0008165

Itu penurunan 0,8165 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: P_shaft = 6,017 kW

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·46 = 4,513 kW

Daya poros

P_shaft = P_h/η = 4,513/0,75 = 6,017 kW

Jawaban

P_shaft = 6,017 kW

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 14,82 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,1469 = 3,819 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 11 + 3,819 = 14,82 m

Jawaban

H = 14,82 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 5749 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·7 = 28

Nilai masa depan

FV = 5 000·(1 + 0,005)²⁸ = 5 000·1,15 = €5 749,36

Jawaban

FV = €5 749,36

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 877,7 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·20 = 240

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,4873

A = 150 000·0,003/(1 − 0,4873) = €877,67

Jawaban

A = €877,67

27.NPV & IRR

Jawaban: EAC = 10004 €

Biaya tahunan ekuivalen: sebarkan nilai sekarang semua biaya selama umur pakai sebagai jumlah tahunan yang sama (anuitas): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Dengan ini mesin-mesin dengan umur berbeda dapat dibandingkan.

Faktor anuitas

(1 − 1,08⁻⁹)/0,08 = 6,247

Harga beli yang ditahunkan

50 000/6,247 = 8 003,99

EAC

EAC = 8 003,99 + 2 000 = €10 003,99

Jawaban

EAC = €10 003,99

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 11,73 %

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(10%) = 454,55

NPV(15%) = −812,85

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 10 + 5·454,55/(454,55 − (−812,85)) = 11,79%

tepat: NPV(11,73%) = 0 → IRR = 11,73%

Jawaban

IRR = 11,73%

29.Distribusi normal

Jawaban: z = −1,22

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,8888 = 0,1112

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,1112 di dalam tabel dan baca z.

z = −1,22

Jawaban

z = −1,22

30.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil