Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP₁ = 25 kN di 1 mP₂ = 35 kN di 7 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 10 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN di 5 m

M_A = kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓C: 35 kN ↓D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 55 kNbeban horizontal = 5 kN ←

F_AB = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 3 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 3 mP = 40 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 3 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 7 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 60 kN di 7 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 6 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 25 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_bawah = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 11 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan efektif vertikal σ′ di titik X.

z = 9,5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 20,5 kN/m³lempung: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 6,5 m memiliki C_c = 0,25, C_r = 0,02, dan e₀ = 0,65. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 50 kPa dan tekanan prakonsolidasinya 110 kPa. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 25 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 6,5 mC_c = 0,25C_r = 0,02e₀ = 0,65σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Dalam uji oedometer di laboratorium, benda uji lempung setebal 20 mm, berdrainase di atas dan di bawah, mencapai konsolidasi 50% dalam 5 menit. Di lapangan, lempung yang sama membentuk lapisan setebal 3 m. Lapisan berada di atas batuan kedap air, dengan pasir di atasnya, sehingga air hanya terdrainase keluar di atas. Berapa hari t yang diperlukan lapisan di lapangan untuk mencapai konsolidasi 50%?

h_lab = 20 mmt_lab = 5 minH = 3 mlapangan: drainase tunggal

t = hari

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 4 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 2 m berada di dinding tangki berisi gliserin, dengan tepi atasnya 1,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 1,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 1,6 m/s melalui pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 300 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,028 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

V = 1,6 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 200 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,015) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 2). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 900 mm mengalir setengah penuh. n Manning = 0,013 dan kemiringannya S = 0,001. Cari debit Q dalam m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran drainase beton dengan diameter dalam 600 mm (n Manning = 0,013) harus mencapai kecepatan swabersih 0,9 m/s saat mengalir tepat penuh. Cari kemiringan minimum S (dalam m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 76 m sementara porosnya menyerap 70,2 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 80 L/sH = 76 mP_shaft = 70,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 75 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 17 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 600 m dengan diameter dalam 200 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,018; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Tangki atas tertutup dan udara di atas airnya bertekanan gauge 150 kPa. Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda menginvestasikan €8 000 dengan suku bunga nominal 6% per tahun, dimajemukkan triwulanan. Tentukan nilai FV investasi setelah 4 tahun.

PV = €8 0006% / 4n = 4

FV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Pinjaman sebesar €12 000 dilunasi dengan angsuran bulanan yang sama selama 6 tahun. Suku bunganya 2,4% per tahun, dimajemukkan bulanan. Tentukan angsuran bulanan A.

P = €12 0002,4% / 12N = 72

A = €

27.NPV & IRRSedang

Investasi sebesar €45 000 memberikan arus kas berikut di akhir tahun 1 sampai 3: €11 000, €22 000, €16 000. Biaya modal 8%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 22 000CF₃ = 16 000

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €25 000 dan menghasilkan €18 500, €17 000, €10 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 17 000CF₃ = 10 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 32 dan 35,3 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 35,3

P =

30.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 26,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·1 + 35·7

R_B = 270/8 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 33,75 = 26,25 kN

Jawaban

R_A = 26,25 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 283,3 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 25·3,333 + 40·5 = 283,3 kN·m

Jawaban

M_A = 283,3 kN·m

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 26,25 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 62,5 kN (C), HE: 43,75 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 12,5 kN (T), HC: 31,25 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −53,11 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·1 − 5·2 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 7,5 = 47,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −47,5/0,8944 = −53,11 kN

Jawaban

F_AB = −53,11 kN (tekan)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −112,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −40·2,5 = −100 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_x = −100 − 12,5 = −112,5 kN·m

Jawaban

M_x = −112,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 70 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·7 + 5·8·4

R_B = 580/8 = 72,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 72,5 = 27,5 kN

Potong di x = 7 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 27,5·7 − 5·7·3,5 = 70 kN·m

Jawaban

M_x = 70 kN·m

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 6,425 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 6,425 mm

Jawaban

δ = 6,425 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 1,094 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 6000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1500²)/3) = 4537 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,094 mm

Jawaban

δ_max = 1,094 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 128,5 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/4000² = 128510 N = 128,5 kN

Jawaban

P_cr = 128,5 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 69,09 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/12,5 = 100

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Jawaban

σ_cr = 69,09 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 16,29 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

badan: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·185 + 2880·90)/4280 = 121,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·10³/12 + 1400·(185 − 121,1)² = 5,733 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·180³/12 + 2880·(90 − 121,1)² = 1,056 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,733 × 10⁶ + 1,056 × 10⁷ = 1,629 × 10⁷ mm⁴ = 16,29 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 16,29 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 274,7 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

badan: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·130 + 2160·60)/6160 = 105,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·20³/12 + 4000·(130 − 105,5)² = 2,543 × 10⁶ mm⁴

badan: 18·120³/12 + 2160·(60 − 105,5)² = 7,055 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,543 × 10⁶ + 7,055 × 10⁶ = 9,598 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 105,5 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·105,5/9,598 × 10⁶ = 274,7 MPa

Jawaban

σ_bawah = 274,7 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 120,8 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 18,5·7 = 189,5 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 189,5 − 68,67 = 120,8 kPa

Jawaban

σ′ = 120,8 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ′ = 115,2 kPa

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3,5

σ = 17·3 + 20,5·3 + 19·3,5 = 179 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Tegangan efektif

σ′ = σ − u = 179 − 63,77 = 115,2 kPa

Jawaban

σ′ = 115,2 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 13,87 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 50 + 25 = 75 kPa ≤ 110 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·6,5/(1 + 0,65)·log₁₀(75/50) = 13,87 mm

Jawaban

S = 13,87 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 312,5 hari

Lintasan drainase

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 3 m

Skalakan waktunya

t = T_v·H_dr²/c_v dengan T_v dan c_v yang sama di laboratorium dan di lapangan.

t_field = 5·(3/0,01)² = 450000 min

t_field = 450000/1440 = 312,5 hari

Jawaban

t = 312,5 hari

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 104,8 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN

Jawaban

F = 104,8 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 123,6 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,5·4 = 123,6 kN

Jawaban

F = 123,6 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 6,089 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(500/0,3)·1,6²/(2·9,81) = 6,089 m

Jawaban

h_f = 6,089 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 1,578 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 15 + 3,1)·0,08263 = 1,578 m

Jawaban

H = 1,578 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 0,2862 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m

Kecepatan

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,001^1/2 = 0,8999 m/s

Debit

Q = A·V = 0,3181·0,8999 = 0,2862 m³/s

Jawaban

Q = 0,2862 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,001718 m/m

Jari-jari hidrolik

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Selesaikan Manning untuk S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2823)² = 0,001718

Jawaban

S = 0,001718

Itu penurunan 1,718 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 84,96 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·76 = 59,64 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 59,64/70,2 = 84,96%

Jawaban

η = 84,96%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 50,3 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0,2905 = 18,01 m

Head tekanan

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Head pompa

Kedua permukaan praktis diam, sehingga tidak ada suku head kecepatan.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 15,29 + 18,01 = 50,3 m

Jawaban

H = 50,3 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 10152 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·4 = 16

Nilai masa depan

FV = 8 000·(1 + 0,015)¹⁶ = 8 000·1,269 = €10 151,88

Jawaban

FV = €10 151,88

26.Nilai waktu uang

Jawaban: A = 179,1 €

Suku bunga bulanan dan jumlah angsuran

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Angsuran

Nilai sekarang dari N pembayaran yang sama A adalah A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Samakan dengan pinjaman dan selesaikan untuk A.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 12 000·0,002/(1 − 0,866) = €179,12

Jawaban

A = €179,12

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −3252 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang setiap arus kas

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 11 000/1,08 = 10 185,19

CF₂/(1 + 0,08)² = 22 000/1,166 = 18 861,45

CF₃/(1 + 0,08)³ = 16 000/1,26 = 12 701,32

Jumlahkan

NPV = €−3 252,04

Jawaban

NPV = €−3 252,04

NPV negatif, jadi proyek menghasilkan kurang dari pengembalian yang disyaratkan.

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 41,83 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(40%) = 532,07

NPV(45%) = −875,60

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 40 + 5·532,07/(532,07 − (−875,60)) = 41,89%

tepat: NPV(41,83%) = 0 → IRR = 41,83%

Jawaban

IRR = 41,83%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,2088

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Luas di antara

P = Φ(0,55) − Φ(0) = 0,7088 − 0,5 = 0,2088

Jawaban

P = 0,2088

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 166,5 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Jawaban

x = 166,49 cm

Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil