Latihan ujian FE Civil: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 30 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Tegangan efektif tanah

Tegangan total: σ = Σγ_i·h_i
Tekanan air pori: u = γ_w·(z − z_w)
Tegangan efektif: σ′ = σ − u
Air: γ_w = 9,81 kN/m³

Penurunan konsolidasi

Terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Tegangan akhir: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Terkonsolidasi berlebih, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Rasio konsolidasi berlebih: OCR = σ′_p/σ′₀
Waktu konsolidasi: t = T_v·H_dr²/c_v
Lintasan drainase: H_dr = H/2 (drainase ganda), H (drainase tunggal)
Faktor waktu: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Gaya hidrostatis

Tekanan pada kedalaman: p = ρgh
Gaya pada dinding vertikal: F = ρg·h_c·A
Pusat tekanan: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Persegi panjang: I_c = bH³/12

Gesekan pipa & kehilangan head

Bilangan Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Rezim aliran: laminar di bawah Re ≈ 2000, turbulen di atas Re ≈ 4000
Kecepatan rata-rata: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Kerugian minor: h_m = ΣK·V²/(2g)
Nilai K tipikal: masuk 0,5, keluar 1,0, belokan 90° ≈ 0,3
Penurunan tekanan: Δp = ρ·g·h_f
Dua reservoir terbuka: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Keluaran bebas: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Aliran saluran terbuka (Manning)

Persamaan Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Debit: Q = A·V
Jari-jari hidrolik: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y
Trapesium (kemiringan sisi z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Pipa bulat, penuh atau setengah penuh: R = D/4
Kemiringan yang diperlukan: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Pompa & daya pompa

Daya hidrolik: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Daya poros: P_shaft = P_h/η_pump
Daya listrik: P_el = P_shaft/η_motor
Head pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Kerugian sistem: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Nilai waktu uang

Nilai masa depan: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Nilai sekarang: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Beberapa periode per tahun: i = r/m, N = m·n
Anuitas, nilai sekarang: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitas, nilai masa depan: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metode

Gambar garis waktu dengan setiap arus kas dan waktunya.
Sesuaikan suku bunga dengan periodenya: suku bunga bulanan untuk pembayaran bulanan.
Gunakan FV = PV·(1 + i)ⁿ untuk jumlah tunggal dan rumus anuitas untuk pembayaran yang sama besar.
Periksa tanda dan orde besaran jawabannya.

NPV & IRR

Nilai sekarang bersih: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Arus kas yang sama: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tingkat pengembalian internal: nilai r saat NPV = 0
Keputusan: terima jika NPV > 0 (atau IRR > tingkat pengembalian yang disyaratkan)

Metode

Daftarkan semua arus kas beserta tahunnya; investasi pada tahun 0 bernilai negatif.
Diskontokan setiap arus kas: CF_t/(1 + r)^t.
Jumlahkan semuanya untuk mendapatkan NPV. Positif berarti proyek menghasilkan lebih dari r.
Untuk IRR, cari suku bunga yang membuat NPV nol dengan coba-coba atau interpolasi.

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP₁ = 50 kN di 3 mP₂ = 50 kN di 4 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 4 mP = 35 kN di 2 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 3 m

R_A = kN

3.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓D: 20 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

4.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 20 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AC = kN

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 3 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP = 75 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_max = kN·m

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 18 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 26 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_atas = MPa

13.Tegangan efektif tanahSedang

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tegangan vertikal total σ di titik X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 15 kN/m³pasir: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.Tegangan efektif tanahSulit

Untuk profil tanah yang ditunjukkan, cari tekanan air pori u di titik X.

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³pasir: γ_d = 17 kN/m³pasir: γ_sat = 19,5 kN/m³lempung: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Penurunan konsolidasiSedang

Lapisan lempung terkonsolidasi berlebih setebal 6 m memiliki C_c = 0,45, C_r = 0,02, dan e₀ = 0,65. Di tengah kedalamannya tegangan vertikal efektifnya 105 kPa dan rasio konsolidasi berlebihnya OCR = 2,5. Sebuah bangunan baru menambah tegangan vertikal 30 kPa di tengah kedalaman. Cari penurunan konsolidasi primer S dalam mm.

H = 6 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 0,65σ′₀ = 105 kPaOCR = 2,5Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Penurunan konsolidasiSulit

Sebuah lapisan lempung setebal 3,5 m memiliki koefisien konsolidasi c_v = 1,2 m²/tahun. Lapisan berada di antara dua lapisan pasir, sehingga air terdrainase keluar di atas dan di bawah. Untuk konsolidasi rata-rata 90% faktor waktunya T_v = 0,848. Berapa tahun t yang diperlukan lapisan untuk mencapai konsolidasi 90%?

H = 3,5 mc_v = 1,2 m²/tahunU = 90%T_v = 0,848drainase ganda

t = tahun

17.Gaya hidrostatisSedang

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 1,5 m berada di dinding tangki berisi air, dengan tepi atasnya 3 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Gaya hidrostatisSulit

Pintu air persegi panjang vertikal selebar 3 m berada di dinding tangki berisi oli, dengan tepi atasnya 0,5 m di bawah permukaan. Cari gaya hidrostatis resultan F pada pintu air.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Gesekan pipa & kehilangan headSedang

Air mengalir dengan debit 50 L/s melalui pipa sepanjang 1000 m dengan diameter dalam 200 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,018 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan h_f.

Q = 50 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Gesekan pipa & kehilangan headSulit

Sebuah pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,025) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 2 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 10). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)Sedang

Sebuah saluran trapesium tanah berlapis rumput memiliki lebar dasar 2,5 m dan kemiringan sisi 3:1 (horizontal:vertikal). Air mengalir seragam sedalam 1,6 m. n Manning = 0,03 dan kemiringan dasarnya S = 0,001. Cari debit Q dalam m³/s.

b = 2,5 my = 1,6 mz = 3n = 0,03S = 0,001

Q = m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)Sulit

Sebuah saluran persegi panjang tanah bersih selebar 6 m harus mengalirkan 19 m³/s dalam aliran seragam pada kedalaman 1,7 m. n Manning = 0,022. Cari kemiringan dasar yang diperlukan S (dalam m/m).

Q = 19 m³/sb = 6 my = 1,7 mn = 0,022

S = m/m

23.Pompa & daya pompaSedang

Dalam sebuah pengujian, pompa mengalirkan 80 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 22 m sementara porosnya menyerap 21,1 kW. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari efisiensi pompa η dalam persen.

Q = 80 L/sH = 22 mP_shaft = 21,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Pompa & daya pompaSulit

Sebuah pompa memindahkan 50 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 9 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,025; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 4 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.

Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 4

H = m

25.Nilai waktu uangSedang

Anda butuh €25 000 dalam 10 tahun. Sebuah rekening memberi 6% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa yang harus Anda setor hari ini? Tentukan nilai sekarang PV.

FV = €25 0006% / 12n = 10

PV = €

26.Nilai waktu uangSulit

Anda menabung €150 di akhir setiap bulan selama 25 tahun. Rekening memberi 7,2% per tahun, dimajemukkan bulanan. Berapa tabungan Anda di akhir? Tentukan FV.

A = €1507,2% / 12N = 300

FV = €

27.NPV & IRRSedang

Sebuah mesin berharga €50 000 hari ini. Mesin menghasilkan €7 000 di akhir setiap tahun selama 7 tahun dan kemudian dapat dijual seharga €7 500. Biaya modalnya 6%. Tentukan nilai sekarang bersih NPV.

C₀ = €50 000CF = €7 000S = €7 500n = 7r = 6%

NPV = €

28.NPV & IRRSulit

Sebuah proyek berbiaya €20 000 dan menghasilkan €8 500, €12 500, €8 000 di akhir tahun 1 sampai 3. Tentukan tingkat pengembalian internalnya IRR dalam persen.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 12 500CF₃ = 8 000

IRR = %

29.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 4 g; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 500 g dan simpangan baku 9 g. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 745,1 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 745,1 g

P =

30.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 80% data (persentil ke-80).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 30 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 50·4

R_B = 350/5 = 70 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 70 = 30 kN

Jawaban

R_A = 30 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 36,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·2 + 10·3·1,5

R_B = 115/4 = 28,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 28,75 = 36,25 kN

Jawaban

R_A = 36,25 kN

3.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 71,67 kN (T), BC: 83,33 kN (T), CD: 83,33 kN (T), DE: 68,33 kN (T), FG: 71,67 kN (C), GH: 68,33 kN (C), AF: 89,58 kN (C), HE: 85,42 kN (C), BF: 33,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 14,58 kN (C), DG: 18,75 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

4.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 1 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 − 15·4 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 4 = 16 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −4/0,9701 = −4,123 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,123)·0,2425 = 1 kN

Jawaban

F_AC = 1 kN (tarik)

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 31,67 kN, R₂ = 38,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 63,33, M_D = 95 kN·m, M_E = 76,67, M_F = 38,33, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 95 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 83,27 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·1 + 8·6·3

R_B = 219/6 = 36,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 123 − 36,5 = 86,5 kN

Di mana V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (86,5 − 75)/8 = 1,438 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 83,27 kN·m

Jawaban

M_max = 83,27 kN·m

Terjadi di x = 1,438 m dari A.

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 45,88 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·2000³/(3·1,7 × 10¹²) = 28,24 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 17,65 mm

Jumlahkan

δ = 28,24 + 17,65 = 45,88 mm

Jawaban

δ = 45,88 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 3,111 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·4000³/(48·2,4 × 10¹³) = 1,444 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 1,667 mm

Jumlahkan

δ_max = 1,444 + 1,667 = 3,111 mm

Jawaban

δ_max = 3,111 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 16,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Jawaban

P_cr = 16,82 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 100,7 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Jawaban

σ_cr = 100,7 MPa

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 52,63 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

badan: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·287,5 + 2800·140)/6400 = 223 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·15³/12 + 3600·(287,5 − 223)² = 1,506 × 10⁷ mm⁴

badan: 10·280³/12 + 2800·(140 − 223)² = 3,757 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,506 × 10⁷ + 3,757 × 10⁷ = 5,263 × 10⁷ mm⁴ = 52,63 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 52,63 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 9,533 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

badan: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·195 + 1800·90)/7800 = 170,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·30³/12 + 6000·(195 − 170,8)² = 3,973 × 10⁶ mm⁴

badan: 10·180³/12 + 1800·(90 − 170,8)² = 1,66 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,973 × 10⁶ + 1,66 × 10⁷ = 2,058 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 210 − 170,8 = 39,23 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·39,23/2,058 × 10⁷ = 9,533 MPa

Jawaban

σ_atas = 9,533 MPa

13.Tegangan efektif tanah

Jawaban: σ = 100 kPa

Tegangan efektif (Terzaghi): butiran tanah menahan σ′ = σ − u. Tegangan total σ adalah berat semua yang ada di atas titik, Σγ·h, memakai berat isi kering di atas muka air tanah dan berat isi jenuh di bawahnya. Di bawah muka air tanah tekanan air pori bersifat hidrostatis: u = γ_w·(kedalaman di bawah muka air tanah).

Tegangan total

Jumlahkan berat setiap lapisan tanah di atas X. Di atas muka air tanah gunakan berat isi kering, di bawahnya berat isi jenuh.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 20·2 = 100 kPa

Jawaban

σ = 100 kPa

14.Tegangan efektif tanah

Jawaban: u = 58,86 kPa

Tekanan air pori

Tekanan air bertambah dengan kedalaman di bawah muka air tanah.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6 = 58,86 kPa

Jawaban

u = 58,86 kPa

15.Penurunan konsolidasi

Jawaban: S = 7,938 mm

Konsolidasi primer lapisan lempung setebal H, dengan tegangan efektif di tengah lapisan: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Lempung terkonsolidasi normal: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Lempung terkonsolidasi berlebih mengalami rekompresi sepanjang C_r sampai tekanan prakonsolidasi σ′_p dan baru mengikuti C_c setelah melewatinya. Waktu: t = T_v·H_dr²/c_v, dengan lintasan drainase H_dr sebesar H/2 bila air dapat keluar di atas dan di bawah, dan H bila hanya satu sisi yang berdrainase.

Tekanan prakonsolidasi

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·105 = 262,5 kPa

Bandingkan dengan tekanan prakonsolidasi

σ′_f = 105 + 30 = 135 kPa ≤ 262,5 kPa

Penurunan

Lempung tetap berada pada garis rekompresinya.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·6/(1 + 0,65)·log₁₀(135/105) = 7,938 mm

Jawaban

S = 7,938 mm

16.Penurunan konsolidasi

Jawaban: t = 2,164 tahun

Lintasan drainase

H_dr = H/2 = 3,5/2 = 1,75 m

Waktu

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·1,75²/1,2 = 2,164 tahun

Jawaban

t = 2,164 tahun

17.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 117,7 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Jawaban

F = 117,7 kN

18.Gaya hidrostatis

Jawaban: F = 48,56 kN

Gaya hidrostatis pada permukaan datar: F = ρ·g·y_c·A. Gaya bekerja di pusat tekanan, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), yang selalu berada di bawah titik berat.

Kedalaman titik berat dan luas

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Gaya resultan

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,25·4,5 = 48,56 kN

Jawaban

F = 48,56 kN

19.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: h_f = 11,62 m

Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor h_m = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = h_f + h_m, termasuk kerugian keluar K = 1.

Kecepatan rata-rata

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

Head kecepatan

V²/(2g) = 1,592²/(2·9,81) = 0,1291 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,2)·1,592²/(2·9,81) = 11,62 m

Jawaban

h_f = 11,62 m

20.Gesekan pipa & kehilangan head

Jawaban: H = 9,778 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Koefisien kerugian

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Persamaan energi

Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.

H = (1 + 20 + 11,1)·0,3046 = 9,778 m

Jawaban

H = 9,778 m

21.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: Q = 11,69 m³/s

Persamaan Manning (SI): untuk aliran seragam di saluran terbuka V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 dan Q = A·V, dengan n koefisien kekasaran, S kemiringan dasar (m/m), dan R = A/P jari-jari hidrolik: luas aliran dibagi keliling basah. Hanya batas yang bersentuhan dengan air yang dihitung dalam P, bukan permukaan bebas. Persegi panjang: A = b·y, P = b + 2y. Trapesium dengan kemiringan sisi z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Pipa bulat yang mengalir penuh atau setengah penuh memiliki R = D/4.

Geometri

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,6)·1,6 = 11,68 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 12,62 m

R = A/P = 0,9256 m

Kecepatan

V = (1/0,03)·0,9256^2/3·0,001^1/2 = 1,001 m/s

Debit

Q = A·V = 11,68·1,001 = 11,69 m³/s

Jawaban

Q = 11,69 m³/s

22.Aliran saluran terbuka (Manning)

Jawaban: S = 0,001506 m/m

Geometri

A = b·y = 6·1,7 = 10,2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1,7 = 9,4 m

R = A/P = 1,085 m

Selesaikan Manning untuk S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·19/(10,2·1,056) = 0,03881

S = 0,03881² = 0,001506

Jawaban

S = 0,001506

Itu penurunan 1,506 m per kilometer.

23.Pompa & daya pompa

Jawaban: η = 81,83 %

Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: P_shaft = P_h/η_pump, dan motor menarik P_el = P_shaft/η_motor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.

Daya hidrolik

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·22 = 17,27 kW

Efisiensi

η = P_h/P_shaft = 17,27/21,1 = 81,83%

Jawaban

η = 81,83%

24.Pompa & daya pompa

Jawaban: H = 24,23 m

Kecepatan

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Kehilangan head

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33,33 + 4)·0,408 = 15,23 m

Head pompa

Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.

H = Δz + h_L = 9 + 15,23 = 24,23 m

Jawaban

H = 24,23 m

25.Nilai waktu uang

Jawaban: PV = 13741 €

Nilai waktu uang: uang hari ini lebih berharga daripada jumlah yang sama nanti, karena dapat menghasilkan bunga. Dengan suku bunga i per periode, jumlah uang tumbuh menjadi FV = PV·(1 + i)ⁿ. Rangkaian pembayaran yang sama (anuitas) dinilai dengan menjumlahkan setiap pembayaran, sehingga diperoleh rumus anuitas.

Suku bunga dan jumlah periode

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·10 = 120

Nilai sekarang

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,819 = €13 740,82

Jawaban

PV = €13 740,82

26.Nilai waktu uang

Jawaban: FV = 125430 €

Suku bunga bulanan dan jumlah setoran

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·25 = 300

Nilai masa depan setoran

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(6,017 − 1)/0,006 = €125 429,92

Jawaban

FV = €125 429,92

Anda sendiri menyetor €45 000; sisanya bunga.

27.NPV & IRR

Jawaban: NPV = −5935 €

Nilai sekarang bersih: diskontokan setiap arus kas ke hari ini dengan tingkat pengembalian yang disyaratkan r, lalu jumlahkan: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Proyek dengan NPV > 0 menghasilkan lebih dari r dan menambah nilai. Tingkat pengembalian internal (IRR) adalah tingkat yang membuat NPV = 0.

Nilai sekarang arus kas tahunan

7 000·5,582 = 39 076,67

Nilai sekarang nilai sisa

7 500/1,504 = 4 987,93

NPV

NPV = −50 000 + 39 076,67 + 4 987,93 = −€5 935,40

Jawaban

NPV = −€5 935,40

28.NPV & IRR

Jawaban: IRR = 21,25 %

Apit IRR dari dua sisi

NPV turun saat tingkat naik, jadi IRR terletak di antara tingkat dengan NPV positif dan tingkat dengan NPV negatif.

NPV(20%) = 393,52

NPV(25%) = −1 104,00

Persempit

Interpolasi linear memberi perkiraan awal; mengulanginya (atau fungsi IRR kalkulator) memberi tingkat yang tepat.

IRR ≈ 20 + 5·393,52/(393,52 − (−1 104,00)) = 21,31%

tepat: NPV(21,25%) = 0 → IRR = 21,25%

Jawaban

IRR = 21,25%

29.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6915

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standarkan

z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Jawaban

P = 0,6915

30.Distribusi normal

Jawaban: x = 254,2 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Kembali ke x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Jawaban

x = 254,21 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil