Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kelajuan sebuah kendaraan diukur setiap 2 s (tabel). Taksir jarak s yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 12 s dengan kaidah Simpson.
h = 2 sn = 6
s = m
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,2 untuk y′ = y − t², y(0) = 0,5 untuk menaksir y2 ≈ y(0,4).
y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,2
y2 =
3.Barisan & deretSedang
Deret pangkat Σk=1∞ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)² konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = 3. Carilah ujung kiri x interval itu.
Σ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)²x₀ = 3
x =
4.Barisan & deretSulit
f(x) = ln(1 + x) dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 2 pada x = 0,2. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 2! = 2 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₂|.
f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0,2M = 2
|R₂| =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−2 5 0; 5 −5 4; −3 4 3]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem −3x − 2y = −10 dan −3x − y = 1. Tentukan x.
−3x − 2y = −10−3x − y = 1
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Sekaleng minuman soda bersuhu 3 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 26 °C. Setelah 25 menit suhunya 15 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 10 °C?
T0 = 3 °CTa = 26 °CT(25) = 15 °CT = 10 °C
t = min
8.Persamaan diferensialSulit
Sebuah tangki berisi 1000 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 4 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 95 menit?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: s = 112 m
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Jumlah berbobot
5 + 4·7 + 2·12 + 4·12 + 2·10 + 4·9 + 7 = 168
Kaidah Simpson
s = (2/3)·168 = 112 m
Jawaban
s = 112 m
2.Metode numerik
Jawaban: y2 = 0,7185
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Heun
y₁ = 0,5 + (0,2/2)(0,5 + 0,56) = 0,606
y₂ = 0,606 + (0,2/2)(0,566 + 0,5592) = 0,71852
Grafik
y2 = 0,7185
Jawaban
y2 = 0,7185
Nilai eksaknya adalah y(0,4) = 0,722263.
3.Barisan & deret
Jawaban: x = 2,75
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Koefisien
ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, jadi R = 1/4
Jari-jari
R = 0,25
Selang
2,75 < x < 3,25
x = 2,75
Jawaban
x = 2,75
Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₂| = 0,002667
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = 2! = 2
Batas Lagrange
|R₂| ≤ 2·0,2³/3! = 0,002667
Jawaban
|R₂| = 0,002667
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(0,2) − P₂(0,2)| = 0,002322.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = −73
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −31, M₁₂ = 27, M₁₃ = 5
Ekspansi kofaktor
det A = (−2)·(−31) − 5·27 + 0·5 = −73
Jawaban
det A = −73
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = −4
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = (−3)·(−1) − (−2)·(−3) = −3
Ganti kolom x
det Aₓ = (−10)·(−1) − (−2)·1 = 12
x = 12/(−3) = −4
Jawaban
x = −4
y = 11
7.Persamaan diferensial
Jawaban: t = 12,3 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Konstanta pendinginan
k = ln(-23/-11)/25 = 0,0295 min⁻¹
Waktu untuk mencapai target
t = ln(-23/(−16))/0,0295 = 12,3 min
Jawaban
t = 12,3 min
8.Persamaan diferensial
Jawaban: m = 85,87 kg
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.