Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kaidah trapesium dipakai untuk ∫01 sin x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 1]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,1 untuk y′ = y(2 − y), y(0) = 1 untuk menaksir y4 ≈ y(0,4).
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1
y4 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.
A: Σ 3/kB: Σ k²/2ᵏC: Σ 3ᵏ/k³D: Σ (5/3)ᵏ
1A: Σ 3/k
2B: Σ k²/2ᵏ
3C: Σ 3ᵏ/k³
4D: Σ (5/3)ᵏ
4.Barisan & deretSulit
f(x) = ln(1 + x) dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 4 pada x = 0,5. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 4! = 24 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₄|.
f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0,5M = 24
|R₄| =
5.Matriks & determinanSedang
Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c22 (baris 2, kolom 2).
A = [−4 2; −6 −3]B = [6 −2; −5 6]
c22 =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem 3x − y = 11 dan 3x + 4y = −10. Tentukan x.
3x − y = 113x + 4y = −10
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = -2. Cari y(2).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = -2
y(2) =
8.Persamaan diferensialSulit
Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 16,25y = 162,5 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak ymax dari respons langkahnya.
y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: n = 84
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Batas turunan kedua
M = sin 1 = 0,8415
Selesaikan untuk n
n² > 1·0,8415/(12·1 × 10⁻⁵) = 7012
n > 83,74 → n = 84
Jawaban
n = 84
2.Metode numerik
Jawaban: y4 = 1,386
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 1 + 0,1·(1) = 1,1
y₂ = 1,1 + 0,1·(0,99) = 1,199
y₃ = 1,199 + 0,1·(0,960399) = 1,29504
y₄ = 1,29504 + 0,1·(0,912951) = 1,386335
Grafik
y4 = 1,386
Jawaban
y4 = 1,386
Nilai eksaknya adalah y(0,4) = 1,379949.
3.Barisan & deret
Jawaban: B: Σ k²/2ᵏ
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
D: Σ (5/3)ᵏ → Geometri dengan r = 5/3 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
Jawabannya
B: Σ k²/2ᵏ
Jawaban
B: Σ k²/2ᵏ
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₄| = 0,00625
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = 4! = 24
Batas Lagrange
|R₄| ≤ 24·0,5⁵/5! = 0,00625
Jawaban
|R₄| = 0,00625
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,004423.
5.Matriks & determinan
Jawaban: c22 = −6
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Baris kali kolom
c22 = (−6)·(−2) + (−3)·6 = −6
Jawaban
c22 = −6
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 2,267
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = 3·4 − (−1)·3 = 15
Ganti kolom x
det Aₓ = 11·4 − (−1)·(−10) = 34
x = 34/15 = 2,267
Jawaban
x = 2,267
y = −4,2
7.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 0,03135
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.
Akar karakteristik
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
Konstanta dari nilai awal
A + B = 4, −3A − 4B = -2
A = 14, B = −10
Hitung nilainya
y(2) = 14·e−6 + (−10)·e−8 = 0,03135
Jawaban
y(2) = 0,03135
8.Persamaan diferensial
Jawaban: ymax = 16,75
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.