Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (−3, −5, −5) dan b = (−5, −4, k) saling tegak lurus.

a = (−3, −5, −5)b = (−5, −4, k)

k =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (10, 0, −60) N bekerja di titik A(−3, 2, 2). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen z M_z dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).

F = (10, 0, −60) NA(−3, 2, 2) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 2,5 m dan beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 6 mP = 45 kN di 3,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 2,5 m

M_A = kN·m

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 6 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 4 mw₀ = 6 kN/mP = 45 kN di 3,5 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 25 kN →

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1,5 m di atas tanah. Beban 2 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 2 kNAB = 3 mtinggi C = 4 mtinggi DE = 1,5 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 2 m di atas tanah. Beban vertikal 2 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,25 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 2 kNAB = 2 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 2 mjarak horizontal A ke K = 0,25 m

C = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P₁ di antara tumpuan dan beban terpusat P₂ di C. Cari momen lentur M_B di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5,5 mP₁ = 80 kN di 2 mP₂ = 80 kN di 5,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 4 m

M_B = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 25 kN di 3,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 240 mm, tinggi luar H = 300 mm, dan tebal dinding seragam t = 8 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 240 mmH = 300 mmt = 8 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 25 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = 7

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = (−3)·(−5) + (−5)·(−4) + (−5)·k = 0

35 + (−5)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −35/(−5) = 7

Jawaban

k = 7

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_z = −20 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (−3, 2, 2) − (0, 0, 0) = (−3, 2, 2) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−60) − 2·0 = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·10 − (−3)·(−60) = −160 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·0 − 2·10 = −20 N·m

Komponen yang diminta

M_z = −20 N·m

Jawaban

M_z = −20 N·m

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 176,3 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 6·2,5 = 15 kN, x̄ = 1,25 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 45·3,5 + 15·1,25 = 176,3 kN·m

Jawaban

M_A = 176,3 kN·m

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 189,5 kN·m

Resultan beban segitiga

W = ½·6·4 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2,667 + 45·3,5 = 189,5 kN·m

Jawaban

M_A = 189,5 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 73,33 kN (T), BC: 100 kN (T), CD: 100 kN (T), DE: 86,67 kN (T), FG: 73,33 kN (C), GH: 86,67 kN (C), AF: 91,67 kN (C), HE: 108,3 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 33,33 kN (C), DG: 16,67 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −21,21 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·2 + 25·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 20 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,7071 = −21,21 kN

Jawaban

F_AB = −21,21 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 1,166 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 1 kN

T = 1·1,5/2,5 = 0,6 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 0,6 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Besar

C = √(0,6² + 1²) = 1,166 kN

Jawaban

C = 1,166 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: C = 0,2948 kN

Reaksi tumpuan di B

B_y = 2·0,25/2 = 0,25 kN

Gaya tali pengikat

T = 0,25·1/1,6 = 0,1563 kN

Gaya pin pada BC

C_x = 0,1563 kN, C_y = −0,25 kN

C = √(0,1563² + 0,25²) = 0,2948 kN

Jawaban

C = 0,2948 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_B = −120 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2 + 80·5,5

R_B = 600/4 = 150 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 150 = 10 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Hanya P₂ yang bekerja pada overstek, dengan lengan momen a. Beban ini melenturkan balok ke atas di atas tumpuan (momen negatif).

M_B = −P₂·a = −80·1,5 = −120 kN·m

Jawaban

M_B = −120 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 62,38 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·3,5 + 12·6·3

R_B = 303,5/6 = 50,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 97 − 50,58 = 46,42 kN

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 46,42·4,5 − 25·(4,5 − 3,5) − 12·4,5·2,25 = 62,38 kN·m

Jawaban

M_x = 62,38 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 115,8 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 224 mm, h = 284 mm

A = BH − bh = 240·300 − 224·284 = 8384 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,124 × 10⁸ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,124 × 10⁸/8384) = 115,8 mm

Jawaban

r = 115,8 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 78,33 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

badan: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·232,5 + 4400·110)/11900 = 187,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·25³/12 + 7500·(232,5 − 187,2)² = 1,578 × 10⁷ mm⁴

badan: 20·220³/12 + 4400·(110 − 187,2)² = 4,397 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,578 × 10⁷ + 4,397 × 10⁷ = 5,975 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 187,2 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·187,2/5,975 × 10⁷ = 78,33 MPa

Jawaban

σ_bawah = 78,33 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics