Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan proyeksi skalar compb a dari a = (−1, −5, 7) pada b = (0, 4, −3), yaitu komponen a searah b.
a = (−1, −5, 7)b = (0, 4, −3)
compb a =
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Sebuah gaya F = (−40, 40, 60) N bekerja di titik A(4, 2, −1). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen x Mx dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).
F = (−40, 40, 60) NA(4, 2, −1) mO(0, 0, 0) m
Mx = N·m
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.
L = 6 mP1 = 45 kN di 1 mP2 = 25 kN di 3,5 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 12 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 3 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.
L = 10 mw0 = 12 kN/mP = 10 kN di 3 m
MA = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 35 kN
FBC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Pada penjepit toggle yang ditunjukkan, dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang dipasang dengan pin di B, dan masing-masing membentuk sudut 10° dengan garis AC. Gaya ke bawah 400 N dikenakan di B. Penggeser C menekan benda kerja. Dengan mengabaikan gesekan dan berat, cari gaya penjepitan horizontal Q.
F = 400 Nθ = 10°
Q = N
8.Rangka & mesinSulit
Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 1 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 2 m di atas A. Beban 12 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.
W = 12 kNWb = 1 kNAB = 4 mAC = 2 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Cari gaya geser Vx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 1 m
Vx = kN
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
35 kN @ 0 m45 kN @ 6 m20 kN @ 4 m12 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Sebuah pelat 100 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 50 mmpusat lubang: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: compb a = −8,2
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = (−1)·0 + (−5)·4 + 7·(−3) = −41
Panjang b
|b| = √(0² + 4² + (−3)²) = 5
Proyeksi skalar
compb a = a·b/|b| = −41/5 = −8,2
Jawaban
compb a = −8,2
Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: Mx = 160 N·m
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1 + 25·3,5
RB = 132,5/6 = 22,08 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 22,08 = 47,92 kN
Jawaban
RA = 47,92 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: MA = 430 kN·m
Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.
Resultan beban segitiga
W = ½·12·10 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m
Momen terhadap dinding
MA = W·x̄ + P·a = 60·6,667 + 10·3 = 430 kN·m
Jawaban
MA = 430 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FBC = −25,24 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·2 → Cy = 14 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 14 = 21 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 − 25·4 → Cy = −13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −13,75 = 28,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −28,75/0,8 = −35,94 kN
Jawaban
FAB = −35,94 kN (tekan)
7.Rangka & mesin
Jawaban: Q = 1134 N
Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).
Keseimbangan pin B
2·Flink·sin 10° = 400
Flink = 1152 N
Gaya penjepitan
Q = Flink·cos 10° = 400/(2·tan 10°) = 1134 N
Jawaban
Q = 1134 N
Rasio gaya Q/F = 2,836 tumbuh tanpa batas saat batang penghubung meluruskan diri.
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 27,95 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Sudut kabel
BC = √(4² + 2²) = 4,472 m, sin β = 0,4472
Momen terhadap A
T·0,4472·4 = 12·4 + 1·2
T = 27,95 kN
Jawaban
T = 27,95 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Vx = 18 kN
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·5·2,5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 30 − 12·1 = 18 kN
Jawaban
Vx = 18 kN
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: F (x = 5 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 61,5 kN, R2 = 86,5 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = −35, MC = −14,5, MD = −6, ME = −9,5, MF = −45 kN·m, MG = 0
Jawaban
Tanda F: MF = −45 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 26,7 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (15000·75 − 2827·90)/(15000 − 2827) = 71,52 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
100·150³/12 + 15000·3,484² = 28,31 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·60⁴/64 + 2827·18,48² = 1,602 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 26,7 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 26,7 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 221,4 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (30000·150 − 3000·120)/(30000 − 3000) = 153,3 mm