Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (7, 2, 1) pada b = (−3, −2, 5), yaitu komponen a searah b.

a = (7, 2, 1)b = (−3, −2, 5)

comp_b a =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−1, 6, −1) dan b = (2, 0, −4), tentukan komponen x (a × b)_x dari hasil kali silang a × b.

a = (−1, 6, −1)b = (2, 0, −4)

(a × b)_x =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 15 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 1 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 25 kN di 1 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 10 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 9 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 25 kN di 9 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 30 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 30 kN ↓H: 25 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3 m dan tali pengikat horizontal DE 1,2 m di atas tanah. Beban vertikal 15 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,8 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 15 kNAB = 6 mtinggi C = 3 mtinggi DE = 1,2 mjarak horizontal A ke K = 1,8 m

T = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 3 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 1,5 m. Gaya horizontal 4 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 4 kNAB = 3 mtinggi C = 3 mtinggi DE = 1,5 m

T = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 4 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 80 kN di 4 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 5,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 25 kN di 2 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 160 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 420 mm, dan badan setebal 8 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 150 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σ_max pada penampang.

B = 160 mmH = 420 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = −3,244

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 7·(−3) + 2·(−2) + 1·5 = −20

Panjang b

|b| = √((−3)² + (−2)² + 5²) = 6,164

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = −20/6,164 = −3,244

Jawaban

comp_b a = −3,244

Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_x = −24

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−4) − (−1)·0 = −24

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·2 − (−1)·(−4) = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·0 − 6·2 = −12

Komponen yang diminta

(a × b)_x = −24

Jawaban

(a × b)_x = −24

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 47,5 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·6,667 + 25·1

R_B = 52,5 kN

R_A = 100 − 52,5 = 47,5 kN

Jawaban

R_A = 47,5 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 391,7 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 25·9 = 391,7 kN·m

Jawaban

M_A = 391,7 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −23,44 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,75/0,8 = −23,44 kN

Jawaban

F_AB = −23,44 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 8,75 kN (C), BC: 7,5 kN (T), CD: 7,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 16,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 20,31 kN (C), HE: 29,69 kN (C), BF: 12,19 kN (T), CG: 0, DH: 17,81 kN (T), BG: 20,31 kN (C), DG: 20,31 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

7.Rangka & mesin

Jawaban: T = 7,5 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Seluruh rangka: momen terhadap A

B_y = 15·1,8/6 = 4,5 kN

Kaki BC: momen terhadap C

4,5·3 = T·1,8

T = 7,5 kN

Jawaban

T = 7,5 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 4 kN

Seluruh rangka: momen terhadap A

B_y·3 = 4·3

B_y = 4 kN

Kaki BC: momen terhadap C

4·1,5 = T·1,5

T = 4 kN

Jawaban

T = 4 kN

T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −124,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −80·1,5 = −120 kN·m

w: −4·1,5²/2 = −4,5 kN·m

M_x = −120 − 4,5 = −124,5 kN·m

Jawaban

M_x = −124,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 72 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·2 + 4·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 25 = 40 kN

Potong di x = 5,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 40·5,5 − 25·(5,5 − 2) − 4·5,5·2,75 = 72 kN·m

Jawaban

M_x = 72 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 16,48 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

badan: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·205 + 2000·100)/3600 = 146,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·10³/12 + 1600·(205 − 146,7)² = 5,458 × 10⁶ mm⁴

badan: 10·200³/12 + 2000·(100 − 146,7)² = 1,102 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,458 × 10⁶ + 1,102 × 10⁷ = 1,648 × 10⁷ mm⁴ = 16,48 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 16,48 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_max = 107,6 MPa

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 420 − 2·20 = 380 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·420³ − 152·380³)/12

I_x = 2,928 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 210 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·210/2,928 × 10⁸ = 107,6 MPa

Jawaban

σ_max = 107,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics