Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (3, 1, 6) dan b = (k, −3, −1) saling tegak lurus.

a = (3, 1, 6)b = (k, −3, −1)

k =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−2, −2, −1) dan b = (1, −3, −2) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂_x.

a = (−2, −2, −1)b = (1, −3, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 6 kN/m di A sampai nol di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 5 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mw₀ = 6 kN/mP = 25 kN di 5 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 5 mP = 30 kN di 2,5 mw = 12 kN/m dari 3 sampai 4 m

R_B = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓H: 40 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 2 m di atas tanah. Beban 20 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 20 kNAB = 4 mtinggi C = 4 mtinggi DE = 2 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3,2 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 1 m. Gaya horizontal 6 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 6 kNAB = 3,2 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1 m

T = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 5 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x₀ dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 10 mw = 12 kN/m dari 1 sampai 3 m

x₀ = m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 100 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 190 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 100 mmh = 190 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = 3

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = 3·k + 1·(−3) + 6·(−1) = 0

−9 + 3·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −(−9)/3 = 3

Jawaban

k = 3

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_x = 0,1054

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−2) − (−1)·(−3) = 1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·1 − (−2)·(−2) = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·(−3) − (−2)·1 = 8

Normalkan

Komponen z dari a × b sudah positif.

|a × b| = √(1² + (−5)² + 8²) = 9,487

n̂ = (1, −5, 8)/9,487 = (0,1054, −0,527, 0,8433)

n̂_x = 0,1054

Jawaban

n̂_x = 0,1054

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 25,38 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·2,667 + 25·5

R_B = 23,63 kN

R_A = 49 − 23,63 = 25,38 kN

Jawaban

R_A = 25,38 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 23,4 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2,5 + 12·1·3,5

R_B = 117/5 = 23,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 23,4 = 18,6 kN

Jawaban

R_B = 23,4 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 65 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 88,33 kN (T), DE: 88,33 kN (T), FG: 76,67 kN (C), GH: 76,67 kN (C), AF: 81,25 kN (C), HE: 110,4 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 14,58 kN (T), HC: 14,58 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −7,071 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·3 − 25·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 5 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,7071 = −7,071 kN

Jawaban

F_BC = −7,071 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 14,14 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 10 kN

T = 10·2/2 = 10 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 10 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Besar

C = √(10² + 10²) = 14,14 kN

Jawaban

C = 14,14 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 3,857 kN

Seluruh rangka: momen terhadap A

B_y·3,2 = 6·4,5

B_y = 8,438 kN

Kaki BC: momen terhadap C

8,438·1,6 = T·3,5

T = 3,857 kN

Jawaban

T = 3,857 kN

T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 24,17 kN, R₂ = 75,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 24,17, M_C = 48,33, M_D = 72,5, M_E = 96,67 kN·m, M_F = 75,83, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 96,67 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x₀ = 2,6 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·2·2

R_B = 48/10 = 4,8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 4,8 = 19,2 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 19,2/12 = 2,6 m

Jawaban

x₀ = 2,6 m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 16,79 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 100·10 = 1000 mm², y₁ = 5 mm

dua kaki: A₂ = 2·10·180 = 3600 mm², y₂ = 10 + 180/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (1000·5 + 3600·100)/4600 = 79,35 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 100·10³/12 + 1000·(5 − 79,35)² = 5,536 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·10·180³/12 + 3600·(100 − 79,35)² = 1,126 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,536 × 10⁶ + 1,126 × 10⁷

I_x = 1,679 × 10⁷ mm⁴ = 16,79 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 16,79 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 80,78 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

badan: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·272,5 + 4160·130)/7160 = 189,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·25³/12 + 3000·(272,5 − 189,7)² = 2,072 × 10⁷ mm⁴

badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 189,7)² = 3,826 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,072 × 10⁷ + 3,826 × 10⁷ = 5,899 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 285 − 189,7 = 95,29 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·95,29/5,899 × 10⁷ = 80,78 MPa

Jawaban

σ_atas = 80,78 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics