Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Gaya konstan F = (−30, 0, −30) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(0, 4, 5) ke titik B(−1, 1, 3). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (−30, 0, −30) NA(0, 4, 5) mB(−1, 1, 3) m

W = J

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−3, 2, −4) dan b = (4, 2, −3) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂_y.

a = (−3, 2, −4)b = (4, 2, −3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 5 mP₁ = 30 kN di 1 mP₂ = 60 kN di 3,5 m

R_B = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 10 mP = 30 kN di 5 mw = 3 kN/m dari 1 sampai 4 m

R_B = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 35 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

C: 40 kN ↓D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓H: 35 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

7.Rangka & mesinSedang

Engkol siku yang ditunjukkan berputar terhadap pin O. Gaya vertikal 200 N di A (100 mm dari O) diseimbangkan oleh gaya horizontal di B (120 mm di atas O). Cari besar reaksi pin F_O.

F = 200 NOA = 100 mmOB = 120 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSulit

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 3 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 2,5 m di atas A. Beban 2 kN tergantung di B. Cari besar reaksi pin A.

W = 2 kNW_b = 3 kNAB = 2,5 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 3 m50 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 6 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 210 mm dan diameter dalam d = 198 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 210 mmd = 198 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 150 × 14 mm, badan setinggi 310 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 200 × 16 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 150 × 14 mmbadan: 14 × 310 mmsayap bawah: 200 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = 90 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (−1, 1, 3) − (0, 4, 5) = (−1, −3, −2) m

Usaha

W = F·d = (−30)·(−1) + 0·(−3) + (−30)·(−2) = 90 J

Jawaban

W = 90 J

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_y = 0,8704

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−3) − (−4)·2 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·4 − (−3)·(−3) = −25

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·2 − 2·4 = −14

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √(2² + (−25)² + (−14)²) = 28,72

n̂ = −(2, −25, −14)/28,72 = (−0,06963, 0,8704, 0,4874)

n̂_y = 0,8704

Jawaban

n̂_y = 0,8704

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 48 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1 + 60·3,5

R_B = 240/5 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 48 = 42 kN

Jawaban

R_B = 48 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 17,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 3·3·2,5

R_B = 172,5/10 = 17,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 17,25 = 21,75 kN

Jawaban

R_B = 17,25 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −9,899 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·1 → C_y = 7 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 7 = 28 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7/0,7071 = −9,899 kN

Jawaban

F_BC = −9,899 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen BF

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 100 kN (C), GH: 100 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 60,1 kN (T), HC: 24,75 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: BF

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_O = 260,3 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Gaya di B

Q = 200·100/120 = 166,7 N

Reaksi pin

O_x = 166,7 N, O_y = 200 N

F_O = √(166,7² + 200²) = 260,3 N

Jawaban

F_O = 260,3 N

8.Rangka & mesin

Jawaban: A = 3,808 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Tarikan kabel

T = (2 + 3/2)/0,7071 = 4,95 kN

Komponen di A

A_x = T·cos β = 3,5 kN

A_y = 2 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Besar

A = √(3,5² + 1,5²) = 3,808 kN

Jawaban

A = 3,808 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 25,83 kN, R₂ = 59,17 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 25,83, M_C = 51,67, M_D = 77,5 kN·m, M_E = 68,33, M_F = 59,17, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 77,5 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 6 kN, R₂ = 46 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 2, M_C = −4, M_D = −18, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −40 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 72,16 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 3845 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,002 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(2,002 × 10⁷/3845) = 72,16 mm

Jawaban

r = 72,16 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 171,6 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2100 mm², y = 333 mm

badan: A = 4340 mm², y = 171 mm

sayap bawah: A = 3200 mm², y = 8 mm

Titik berat

ȳ = (2100·333 + 4340·171 + 3200·8)/9640 = 152,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 150·14³/12 + 2100·180,8² = 6,869 × 10⁷ mm⁴

badan: 14·310³/12 + 4340·18,82² = 3,629 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 200·16³/12 + 3200·144,2² = 6,659 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,869 × 10⁷ + 3,629 × 10⁷ + 6,659 × 10⁷

I_x = 1,716 × 10⁸ mm⁴ = 171,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 171,6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics