Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan nilai k agar vektor a = (−4, 6, −3) dan b = (2, −4, k) saling tegak lurus.
a = (−4, 6, −3)b = (2, −4, k)
k =
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Untuk a = (−1, 0, 2) dan b = (4, −6, 6), tentukan komponen y (a × b)y dari hasil kali silang a × b.
a = (−1, 0, 2)b = (4, −6, 6)
(a × b)y =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 15 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 0,5 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 4 mw0 = 15 kN/mP = 20 kN di 0,5 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 5 m dari A. Cari besar momen reaksi MA di dinding.
AC = 3,5 mAD = 6 mP = 30 kN di 5 m
MA = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FBC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4,8 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 1,2 m di atas tanah. Beban vertikal 20 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,2 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 20 kNAB = 4,8 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 1,2 mjarak horizontal A ke K = 1,2 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1,2 m di atas tanah. Beban vertikal 5 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,5 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 5 kNAB = 6 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,2 mjarak horizontal A ke K = 1,5 m
C = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
50 kN @ 8 m4 kN/m, 0–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 5 mP = 60 kN di 4 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 35 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Hasil kali titik sama dengan nol
a·b = (−4)·2 + 6·(−4) + (−3)·k = 0
−32 + (−3)·k = 0
Selesaikan untuk k
k = −(−32)/(−3) = −10,67
Jawaban
k = −10,67
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: (a × b)y = 14
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Hasil kali silang, komponen demi komponen
(a × b)x = aybz − azby = 0·6 − 2·(−6) = 12
(a × b)y = azbx − axbz = 2·4 − (−1)·6 = 14
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·(−6) − 0·4 = 6
Komponen yang diminta
(a × b)y = 14
Jawaban
(a × b)y = 14
Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 22,5 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban segitiga
W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·4 = 30·2,667 + 20·0,5
RB = 22,5 kN
RA = 50 − 22,5 = 27,5 kN
Jawaban
RB = 22,5 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: MA = 42 kN·m
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.
Bagian CD
Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.
ΣMC = 0: RD·2,5 = 30·1,5
RD = 18 kN
VC = 30 − 18 = 12 kN
Bagian AC
Gaya sendi VC bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).
RA = 12 = 12 kN
MA = 12·3,5 = 42 kN·m
Jawaban
MA = 42 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FBC = −39,53 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 20·1,2/4,8 = 5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
5·2,4 = T·2,4
T = 5 kN
Jawaban
T = 5 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: C = 1,689 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Reaksi tumpuan di B
By = 5·1,5/6 = 1,25 kN
Gaya tali pengikat
T = 1,25·3/3,3 = 1,136 kN
Gaya pin pada BC
Cx = 1,136 kN, Cy = −1,25 kN
C = √(1,136² + 1,25²) = 1,689 kN
Jawaban
C = 1,689 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: E (x = 8 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 40,67 kN, R2 = 57,33 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = 73,33, MC = 130,7, MD = 172, ME = 197,3 kN·m, MF = 106,7, MG = 0
Jawaban
Tanda E: ME = 197,3 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 72 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·4 + 12·5·2,5
RB = 390/5 = 78 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 78 = 42 kN
Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 42·4 − 12·4·2 = 72 kN·m
Jawaban
Mx = 72 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 104,3 × 10⁶ mm⁴
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm
badan: Aw = 14·300 = 4200 mm², yw = 300/2 = 150 mm
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.