Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 58, 50, 52, 51, 41.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 65?

μ = 50σ = 12x = 65

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 10X + 1

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 490 dan 540 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 540

P =

6.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 13 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 6 dan simpangan baku 4,8. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 13d̄ = 6s_d = 4,890%t(12) = 1,782

batas atas = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 5 petak, rata-rata hasil 87,5 kg, simpangan baku 5 kg. Kelompok petak 2: 9 petak, rata-rata 95 kg, simpangan baku 4 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 87,5s₁ = 5n₂ = 9x̄₂ = 95s₂ = 495%t(12) = 2,179

batas bawah = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 200,8 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,8s = 4n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 100,8. Simpangan baku populasi 5. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 100,8σ = 5n = 10095%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 49?

n = 5ŷ = 49

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 6,107

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 252/5 = 50,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 7,6² + (−0,4)² + 1,6² + 0,6² + (−9,4)² = 149,2

Simpangan baku

s = √(149,2/4) = 6,107

Jawaban

s = 6,107

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8944

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Jawaban

P = 0,8944

3.Peluang

Jawaban: σ = 0,8367

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variansi

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Jawaban

σ = 0,8367

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 8,367

Sebaran X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Perubahan linear

σ_Y = |10|·0,8367 = 8,367

Jawaban

σ_Y = 8,367

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·1 + 1 = 11.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,4401

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (490 − 500)/40 = −0,25

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Luas di antara

P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401

Jawaban

P = 0,4401

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 243,6 g

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Jawaban

x = 243,59 g

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 8,372 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 12, t = 1,782

Margin galat

E = 1,782·4,8/√13 = 2,372

Selang

6 ± 2,372 → [3,628, 8,372]

Jawaban

batas atas = 8,372 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −12,8 kg

Simpangan baku gabungan

s_p² = (4·5² + 8·4²)/12 = 19

s_p = 4,359

Margin galat

E = 2,179·4,359·√(1/5 + 1/9) = 5,298

Selang

−7,5 ± 5,298 → [−12,8, −2,202]

Jawaban

batas bawah = −12,8 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statistik uji

t = (200,8 − 200)/0,6667 = 1,2

Jawaban

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 101,8

Margin galat

E = 1,96·5/√100 = 0,98

Batas selang

U = 100,8 + 0,98 = 101,8

Jawaban

U = 101,8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9923

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 346/6 = 57,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 557,3

Koefisien korelasi

r = 98/√(17,5·557,3) = 0,9923

Jawaban

r = 0,9923

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 6,524

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 213/5 = 42,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Garis regresi

b = 42/10 = 4,2

a = 42,6 − 4,2·5 = 21,6

ŷ = 21,6 + 4,2·x

Selesaikan untuk x

x = (49 − 21,6)/4,2 = 6,524

Jawaban

x = 6,524

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1