Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
152025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 15, 57, 23, 50, 24, 26, 17.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 100. Berapa proporsi P nilai di bawah 560?

μ = 500σ = 100x = 560
P =
3.PeluangSedang
merah: 5biru: 7

Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

5 / 7
P =
4.PeluangSulit
xp(x)00,3510,1520,330,2μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 5. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2Y = 0,5X + 5
σY =
5.Distribusi normalSedang
−3−2−10123zluas berarsir di sebelah kanan z = 0,0222

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,0222. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,0222
z =
6.Distribusi normalSulit
380420460500540580620hatas 10%

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 10% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
n = 11, s = 20L = ?Ux̄ = 79,5E99%

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 79,5 dan simpangan baku s = 20. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 79,5s = 2099%t(10) = 3,169
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 7, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,595%

Simpangan baku populasi adalah 7. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?

σ = 7E = 0,595%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,98401,984

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 76,45 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,45s = 5n = 100
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2,5α = 0,05βσ = 15, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2,5 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 15. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,05kuasa = 80%δ = 2,5σ = 15zα = 1,645zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy123223318420516612xy2461520

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 112Σx² = 91Σy² = 2182Σxy = 355
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy18552172249327963011333130xy20253050100ŷ = 79

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 79?

n = 6ŷ = 79
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,45

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 212/7 = 30,29

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−15,29)² + 26,71² + (−7,286)² + 19,71² + (−6,286)² + (−4,286)² + (−13,29)² = 1623

Simpangan baku

s = √(1623/6) = 16,45

Jawaban

s = 16,45
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,7257

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 0,6

Tabel normal baku

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Jawaban

P = 0,7257
3.Peluang

Jawaban: P = 0,1515

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Jawaban

P = 0,1515
4.Peluang

Jawaban: σY = 0,5761

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,35, Var(X) = 1,327, σX = 1,152

Perubahan linear

σY = |0,5|·1,152 = 0,5761

Jawaban

σY = 0,5761

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·1,35 + 5 = 5,675.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 2,01

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,0222 = 0,9778

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9778 di dalam tabel dan baca z.

z = 2,01

Jawaban

z = 2,01
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 551 h

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,9

z dari tabel

z ≈ 1,28

Kembali ke satuan semula

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Jawaban

x = 551 h
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 60,39

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Margin galat

E = 3,169·20/√11 = 19,11

Selang

79,5 ± 19,11 → [60,39, 98,61]

Jawaban

batas bawah = 60,39
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 753

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·7/0,5)² = 753

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 753

Jawaban

n = 753
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Statistik uji

t = (76,45 − 75)/0,5 = 2,9

Jawaban

t = 2,9
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| > 1,984, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 223

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1,645 + 0,842)·15/2,5)² = 222,7

Bulatkan ke atas

n = 223

Jawaban

n = 223
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9255

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 355 − 21·112/6 = −37
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2182 − 112²/6 = 91,33

Koefisien korelasi

r = −37/√(17,5·91,33) = −0,9255

Jawaban

r = −0,9255
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 22,53

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 559/6 = 93,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 751,5

Garis regresi

b = 751,5/157,5 = 4,771
a = 93,17 − 4,771·25,5 = −28,5
ŷ = −28,5 + 4,771·x

Selesaikan untuk x

x = (79 − (−28,5))/4,771 = 22,53

Jawaban

x = 22,53

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1