Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 57, 24, 27, 33, 42.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 68,75?

μ = 50σ = 15x = 68,75

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,1, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2Y = 10X + 1

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 26 dan 44,3 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 44,3

P =

6.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 21 unit memiliki rata-rata 24,5 dan simpangan baku s = 11,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 21x̄ = 24,5s = 11,590%t(20) = 1,725

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 37. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 37E = 190%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 98,38 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,38s = 5n = 64

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 501,5. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 501,5σ = 10n = 3699%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (22,5, 122) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(22,5, 122)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,32

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 183/5 = 36,6

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 20,4² + (−12,6)² + (−9,6)² + (−3,6)² + 5,4² = 709,2

Simpangan baku

s = √(709,2/4) = 13,32

Jawaban

s = 13,32

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1056

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,388

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,75

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,45

Variansi

Var(X) = 4,45 − 1,75² = 1,388

Jawaban

Var(X) = 1,388

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 18,19

Sebaran X

μ = 3,3, Var(X) = 3,31, σ_X = 1,819

Perubahan linear

σ_Y = |10|·1,819 = 18,19

Jawaban

σ_Y = 18,19

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·3,3 + 1 = 34.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8212

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Luas di antara

P = Φ(2,05) − Φ(−1) = 0,9798 − 0,1587 = 0,8212

Jawaban

P = 0,8212

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 434,2 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Jawaban

x = 434,2 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 28,83

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margin galat

E = 1,725·11,5/√21 = 4,329

Selang

24,5 ± 4,329 → [20,17, 28,83]

Jawaban

batas atas = 28,83

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 3705

Selesaikan untuk n

n = (1,645·37/1)² = 3705

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 3705

Jawaban

n = 3705

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −2,592

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Statistik uji

t = (98,38 − 100)/0,625 = −2,592

Jawaban

t = −2,592

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 505,8

Margin galat

E = 2,576·10/√36 = 4,293

Batas selang

U = 501,5 + 4,293 = 505,8

Jawaban

U = 505,8

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9728

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 236/5 = 47,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 172,8

Koefisien determinasi

r² = 41²/(10·172,8) = 0,9728

Jawaban

r² = 0,9728

Sekitar 97,28% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 5,3

Rata-rata

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 539/5 = 107,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 534

Garis regresi

b = 534/90 = 5,933

a = 107,8 − 5,933·21 = −16,8

ŷ = −16,8 + 5,933·x

Nilai prediksi

ŷ = −16,8 + 5,933·22,5 = 116,7

Residu

e = 122 − 116,7 = 5,3

Jawaban

e = 5,3

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1