Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 41, 53, 21, 22, 37.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 88?

μ = 100σ = 8x = 88

P =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.PeluangSulit

10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 10p = 0,6

P =

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 30,8 min. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

6.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 500σ = 40P = 95%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 13 unit memiliki rata-rata 39 dan simpangan baku s = 7,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 13x̄ = 39s = 7,599%t(12) = 3,055

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 11 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 9,8 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 10, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 3,247 dan 2,5% berada di atas 20,483.

n = 11s = 9,8 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 40 komponen memiliki rata-rata panjang 40 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 10 mm. Lini 2: sampel 40 komponen memiliki rata-rata 35,1 mm, simpangan baku diketahui 9 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 40x̄₁ = 40 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 40x̄₂ = 35,1 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 100 pengukuran memiliki rata-rata 201. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 201σ = 4n = 10090%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 174/5 = 34,8

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 6,2² + 18,2² + (−13,8)² + (−12,8)² + 2,2² = 728,8

Simpangan baku

s = √(728,8/4) = 13,5

Jawaban

s = 13,5

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,06681

Standarkan

z = −1,5

Tabel normal baku

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,287

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,25 + 5·0,05 = 2,75

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,25 + 25·0,05 = 8,85

Variansi

Var(X) = 8,85 − 2,75² = 1,287

Jawaban

Var(X) = 1,287

4.Peluang

Jawaban: P = 0,001678

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,4¹⁰ = 0,0001049

P(X = 1) = 10·0,6·0,4⁹ = 0,001573

Jumlahkan

P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678

Jawaban

P = 0,001678

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6844

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standarkan

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

Jawaban

P = 0,6844

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 565,8 h

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h

Jawaban

x = 565,8 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 32,65

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Margin galat

E = 3,055·7,5/√13 = 6,355

Selang

39 ± 6,355 → [32,65, 45,35]

Jawaban

batas bawah = 32,65

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 17,2 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 10·9,8² = 960,4

Batas untuk σ²

960,4/20,483 = 46,89

960,4/3,247 = 295,8

Batas untuk σ

σ = √295,8 = 17,2 µm

Jawaban

σ = 17,2 µm

Selang 95% untuk σ: [6,847, 17,2] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,303

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(10²/40 + 9²/40) = √4,525 = 2,127

Statistik uji

z = (40 − 35,1)/2,127 = 2,303

Jawaban

z = 2,303

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 200,3

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·4/√100 = 0,658

Batas selang

L = 201 − 0,658 = 200,3

Jawaban

L = 200,3

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9911

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 404/6 = 67,33

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 316

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1439

Koefisien determinasi

r² = 316²/(70·1439) = 0,9911

Jawaban

r² = 0,9911

Sekitar 99,11% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 97,6

Rata-rata

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 535/6 = 89,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 295

Garis regresi

b = 295/70 = 4,214

a = 89,17 − 4,214·8 = 55,45

ŷ = 55,45 + 4,214·x

Prediksi

ŷ = 55,45 + 4,214·10 = 97,6

Jawaban

ŷ = 97,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1