Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 23, 48, 34, 56, 13, 23.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 66.

μ = 60σ = 15x = 66

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15

σ =

4.PeluangSulit

10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,25. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 10p = 0,25

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 5 di antaranya di bawah 384,8 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 384.8 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 10% data (persentil ke-10).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 30 ponsel, rata-rata 83,5 h, simpangan baku diketahui 20 h. Model 2: 60 ponsel, rata-rata 78,5 h, simpangan baku diketahui 16 h. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 83,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 60x̄₂ = 78,5 hσ₂ = 16 h90%

E = h

8.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,05?

p = 0,5E = 0,0595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

16 karyawan mengikuti tes mengetik sebelum dan sesudah pelatihan. Untuk setiap orang dicatat selisih d = sesudah − sebelum (kata per menit). Rata-rata selisihnya 5,36 dan simpangan baku selisihnya 6,5. Tentukan statistik uji berpasangan t untuk H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 5,36s_d = 6,5

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2? Simpangan bakunya 4. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 4E = 290%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 449Σx² = 364Σy² = 35227Σxy = 3480

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (22,5, 120) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(22,5, 120)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,46

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 197/6 = 32,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−9,833)² + 15,17² + 1,167² + 23,17² + (−19,83)² + (−9,833)² = 1355

Simpangan baku

s = √(1355/5) = 16,46

Jawaban

s = 16,46

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,4

Standarkan

z = (66 − 60)/15 = 0,4

Jawaban

z = 0,4

3.Peluang

Jawaban: σ = 1,02

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,4

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,8

Variansi

Var(X) = 6,8 − 2,4² = 1,04

σ = √1,04 = 1,02

Jawaban

σ = 1,02

4.Peluang

Jawaban: P = 0,244

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,75¹⁰ = 0,05631

P(X = 1) = 10·0,25·0,75⁹ = 0,1877

Jumlahkan

P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244

Jawaban

P = 0,244

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,06681

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Standarkan

z = (384,8 − 425)/26,83 = −1,5

Peluang

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 169 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Kembali ke x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Jawaban

x = 169,03 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 6,901 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 83,5 − 78,5 = 5

Galat baku

SE = √(20²/30 + 16²/60) = 4,195

Margin galat

E = 1,645·4,195 = 6,901

Jawaban

E = 6,901 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2

Bulatkan ke atas

n = 385

Jawaban

n = 385

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 3,298

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Galat baku rata-rata selisih

SE = 6,5/√16 = 1,625

Statistik uji

t = 5,36/1,625 = 3,298

Jawaban

t = 3,298

Dengan df = 15, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,131; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 11

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (1,645·4/2)² = 10,82

Bulatkan ke atas

n = 11

Jawaban

n = 11

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9986

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 3480 − 42·449/6 = 337

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 35227 − 449²/6 = 1627

Koefisien korelasi

r = 337/√(70·1627) = 0,9986

Jawaban

r = 0,9986

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 3,5

Rata-rata

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 622/5 = 124,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 474

Garis regresi

b = 474/90 = 5,267

a = 124,4 − 5,267·24 = −2

ŷ = −2 + 5,267·x

Nilai prediksi

ŷ = −2 + 5,267·22,5 = 116,5

Residu

e = 120 − 116,5 = 3,5

Jawaban

e = 3,5

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1