Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 46, 14, 59, 29, 18, 13.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di bawah 88,75?

μ = 70σ = 15x = 88,75

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

6 / 4

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 20. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 55 dan 85,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 85,5

P =

6.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 60% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 11 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −0,5 dan simpangan baku 4,8. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 11d̄ = −0,5s_d = 4,890%t(10) = 1,812

E = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 15 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 10,5 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 14, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 5,629 dan 2,5% berada di atas 26,119.

n = 15s = 10,5 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 202,4 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,4s = 5n = 25

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 25 pengukuran memiliki rata-rata 101,2. Simpangan baku populasi 12. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 101,2σ = 12n = 2590%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 305Σx² = 165Σy² = 19263Σxy = 1681

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 3,5.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,9

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 179/6 = 29,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 16,17² + (−15,83)² + 29,17² + (−0,8333)² + (−11,83)² + (−16,83)² = 1787

Simpangan baku

s = √(1787/5) = 18,9

Jawaban

s = 18,9

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8944

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Jawaban

P = 0,8944

3.Peluang

Jawaban: P = 0,3333

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333

Jawaban

P = 0,3333

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 110

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 27, Var(X) = 121, σ_X = 11

Perubahan linear

σ_Y = |10|·11 = 110

Jawaban

σ_Y = 110

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·27 + 20 = 290.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8212

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Luas di antara

P = Φ(2,05) − Φ(−1) = 0,9798 − 0,1587 = 0,8212

Jawaban

P = 0,8212

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 176,3 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,4

z dari tabel

z ≈ −0,25

Kembali ke satuan semula

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Jawaban

x = 176,3 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,622 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 10, t = 1,812

Margin galat

E = 1,812·4,8/√11 = 2,622

Jawaban

E = 2,622 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 7,687 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 14·10,5² = 1544

Batas untuk σ²

1544/26,119 = 59,09

1544/5,629 = 274,2

Batas untuk σ

σ = √59,09 = 7,687 µm

Jawaban

σ = 7,687 µm

Selang 95% untuk σ: [7,687, 16,56] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistik uji

t = (202,4 − 200)/1 = 2,4

Jawaban

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 97,25

Margin galat

E = 1,645·12/√25 = 3,948

Batas selang

L = 101,2 − 3,948 = 97,25

Jawaban

L = 97,25

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9616

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 1681 − 25·305/5 = 156

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 19263 − 305²/5 = 658

Koefisien korelasi

r = 156/√(40·658) = 0,9616

Jawaban

r = 0,9616

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 63,67

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 382/6 = 63,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

Garis regresi

b = 114/17,5 = 6,514

a = 63,67 − 6,514·3,5 = 40,87

ŷ = 40,87 + 6,514·x

Prediksi

ŷ = 40,87 + 6,514·3,5 = 63,67

Jawaban

ŷ = 63,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1