Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2025303540455055

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 42, 18, 56, 26, 52, 25.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di bawah 92,5?

μ = 70σ = 15x = 92,5
P =
3.PeluangSedang
xp(x)00,2520,1540,360,3μ = 3,3

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3
Var(X) =
4.PeluangSulit
€p(x)−50,68200,32450,02

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €25 dengan peluang 0,3 dan €250 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€25: p = 0,3€250: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribusi normalSedang
468580P = ?

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 468 dan 580 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x1 = 468x2 = 580
P =
6.Distribusi normalSulit
380420460500540580620hatas 70%

umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 70% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
n = 13, sd​ = 7,60L = ?Ud̄ = −6,7E90%

Tekanan darah 13 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −6,7 dan simpangan baku 7,6. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk rata-rata selisih.

n = 13d̄ = −6,7sd = 7,690%t(12) = 1,782
batas bawah = mmHg
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Simpangan baku populasi adalah 19. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 19E = 1,599%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,0302,03

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 72 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72s = 20n = 36
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,64501,645

Sampel 16 pengukuran memiliki rata-rata 54,1. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 54,1σ = 15n = 1690%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy261369470582687xy24660708090

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy350457562661767xy465060x = 6,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6,5, 70) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(6,5, 70)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,89

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 245/7 = 35

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−9)² + 7² + (−17)² + 21² + (−9)² + 17² + (−10)² = 1330

Simpangan baku

s = √(1330/6) = 14,89

Jawaban

s = 14,89
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9332

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332
3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 5,31

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,3

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,2

Variansi

Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31

Jawaban

Var(X) = 5,31
4.Peluang

Jawaban: E(G) = 7,5 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0,3), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)

Nilai harapan

E(G) = 20·0,3 + 245·0,02 − 5·0,68 = 7,5 €

Jawaban

E(G) = 7,5 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7654

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8
z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Luas di antara

P = Φ(2) − Φ(−0,8) = 0,9772 − 0,2119 = 0,7654

Jawaban

P = 0,7654
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 479 h

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,3

z dari tabel

z ≈ −0,52

Kembali ke satuan semula

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Jawaban

x = 479 h
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −10,46 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 12, t = 1,782

Margin galat

E = 1,782·7,6/√13 = 3,756

Selang

−6,7 ± 3,756 → [−10,46, −2,944]

Jawaban

batas bawah = −10,46 mmHg
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 1065

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·19/1,5)² = 1065

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 1065

Jawaban

n = 1065
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statistik uji

t = (72 − 75)/3,333 = −0,9

Jawaban

t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 60,27

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,645·15/√16 = 6,169

Batas selang

U = 54,1 + 6,169 = 60,27

Jawaban

U = 60,27
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9768

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 369/5 = 73,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65
Syy = Σ(y − ȳ)² = 442,8

Koefisien korelasi

r = 65/√(10·442,8) = 0,9768

Jawaban

r = 0,9768
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = 4,9

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 297/5 = 59,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

Garis regresi

b = 38/10 = 3,8
a = 59,4 − 3,8·5 = 40,4
ŷ = 40,4 + 3,8·x

Nilai prediksi

ŷ = 40,4 + 3,8·6,5 = 65,1

Residu

e = 70 − 65,1 = 4,9

Jawaban

e = 4,9

Titik terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1