Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 19, 34, 42, 13, 51, 43, 30.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 100. Berapa proporsi P nilai di bawah 650?

μ = 500σ = 100x = 650

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

5 / 7

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,3, 0,15Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9761. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9761

z =

6.Distribusi normalSulit

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 99% data (persentil ke-99).

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 59,5 dan simpangan baku s = 18. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 59,5s = 1895%t(10) = 2,228

batas atas =

8.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,02?

p = 0,5E = 0,0295%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 88,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 13 mm. Lini 2: sampel 60 komponen memiliki rata-rata 81,5 mm, simpangan baku diketahui 14 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 50x̄₁ = 88,5 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 60x̄₂ = 81,5 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 49 pengukuran memiliki rata-rata 201,1. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 201,1σ = 8n = 4999%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 121Σx² = 364Σy² = 3171Σxy = 1072

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,61

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 232/7 = 33,14

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−14,14)² + 0,8571² + 8,857² + (−20,14)² + 17,86² + 9,857² + (−3,143)² = 1111

Simpangan baku

s = √(1111/6) = 13,61

Jawaban

s = 13,61

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9332

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

3.Peluang

Jawaban: P = 0,1515

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Jawaban

P = 0,1515

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 9,695

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,4, Var(X) = 0,94, σ_X = 0,9695

Perubahan linear

σ_Y = |10|·0,9695 = 9,695

Jawaban

σ_Y = 9,695

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·1,4 + 4 = 18.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = −1,98

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9761 = 0,0239

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0239 di dalam tabel dan baca z.

z = −1,98

Jawaban

z = −1,98

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 593,1 h

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Kembali ke x

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Jawaban

x = 593,05 h

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 71,59

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margin galat

E = 2,228·18/√11 = 12,09

Selang

59,5 ± 12,09 → [47,41, 71,59]

Jawaban

batas atas = 71,59

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 2401

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401

Bulatkan ke atas

n = 2401

Jawaban

n = 2401

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,715

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(13²/50 + 14²/60) = √6,647 = 2,578

Statistik uji

z = (88,5 − 81,5)/2,578 = 2,715

Jawaban

z = 2,715

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 198,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Batas selang

L = 201,1 − 2,944 = 198,2

Jawaban

L = 198,2

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9948

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 1072 − 42·121/6 = 225

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3171 − 121²/6 = 730,8

Koefisien korelasi

r = 225/√(70·730,8) = 0,9948

Jawaban

r = 0,9948

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 21,14

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 97/6 = 16,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43,5

Garis regresi

b = −43,5/17,5 = −2,486

a = 16,17 − (−2,486)·3,5 = 24,87

ŷ = 24,87 − 2,486·x

Prediksi

ŷ = 24,87 + (−2,486)·1,5 = 21,14

Jawaban

ŷ = 21,14

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1