Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 27, 34, 12, 28, 17.
n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 62?
μ = 50σ = 8x = 62
P =
3.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 2 orang dapat dipilih dari kelompok 10 orang? Urutan tidak penting.
n = 10k = 2
N =
4.PeluangSulit
9 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,7. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 9p = 0,7
P =
5.Distribusi normalSedang
X normal dengan rata-rata 60 s dan simpangan baku 5 s; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 45 s dan simpangan baku 4 s. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 117,8 s. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
6.Distribusi normalSulit
Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,02 mm dan simpangan baku 0,01 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.
lubang: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 10 unit memiliki rata-rata 96 dan simpangan baku s = 8,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 10x̄ = 96s = 8,590%t(9) = 1,833
batas atas =
8.Selang kepercayaanSulit
Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,025?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 98,38 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,38s = 5n = 64
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 56,8. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
x̄ = 56,8σ = 15n = 3695%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 6Σx = 33Σy = 220Σx² = 199Σy² = 8242Σxy = 1264
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (8, 65) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(8, 65)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 8,905
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 118/5 = 23,6
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 3,4² + 10,4² + (−11,6)² + 4,4² + (−6,6)² = 317,2
Simpangan baku
s = √(317,2/4) = 8,905
Jawaban
s = 8,905
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,9332
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 1,5
Tabel normal baku
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Jawaban
P = 0,9332
3.Peluang
Jawaban: N = 45
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Jawaban
N = 45
4.Peluang
Jawaban: P = 0,000433
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Jumlahkan
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Jawaban
P = 0,000433
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,02275
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi jumlah
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standarkan
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Ekor atas
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Jawaban
P = 0,02275
6.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,8133
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standarkan
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Peluang
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Jawaban
P = 0,8133
7.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 100,9
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Margin galat
E = 1,833·8,5/√10 = 4,927
Selang
96 ± 4,927 → [91,07, 100,9]
Jawaban
batas atas = 100,9
8.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Bulatkan ke atas
n = 1083
Jawaban
n = 1083
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: t = −2,592
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Galat baku
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Statistik uji
t = (98,38 − 100)/0,625 = −2,592
Jawaban
t = −2,592
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: L = 51,9
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,96·15/√36 = 4,9
Batas selang
L = 56,8 − 4,9 = 51,9
Jawaban
L = 51,9
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9749
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 1264 − 33·220/6 = 54
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 8242 − 220²/6 = 175,3
Koefisien korelasi
r = 54/√(17,5·175,3) = 0,9749
Jawaban
r = 0,9749
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = 4
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 366/6 = 61
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 304
Garis regresi
b = 304/70 = 4,343
a = 61 − 4,343·8 = 26,26
ŷ = 26,26 + 4,343·x
Nilai prediksi
ŷ = 26,26 + 4,343·8 = 61
Residu
e = 65 − 61 = 4
Jawaban
e = 4
Titik terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1