Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2530354045505560

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 29, 60, 35, 22, 45, 48.

n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 130?

μ = 170σ = 20x = 130
P =
3.PeluangSedang
merah: 6biru: 5

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

6 / 5
P =
4.PeluangSulit
xp(x)10,3520,2530,3540,05μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 4. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05Y = 5X + 4
σY =
5.Distribusi normalSedang
50,585,5P = ?

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 50,5 dan 85,5 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x1 = 50,5x2 = 85,5
P =
6.Distribusi normalSulit
μ = 65x = ?90%

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 65σ = 10P = 90%
x = poin
7.Selang kepercayaanSedang
n = 6, s = 11,5L = ?Ux̄ = 79,5E95%

Sebuah sampel berisi 6 unit memiliki rata-rata 79,5 dan simpangan baku s = 11,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 6x̄ = 79,5s = 11,595%t(5) = 2,571
batas bawah =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Simpangan baku populasi adalah 39. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1?

σ = 39E = 199%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,9901,99

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 76,33 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,33s = 5n = 81
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1,5α = 0,01βσ = 8, kuasa 95%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 1,5 satuan dengan kuasa 95%. Simpangan bakunya 8. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 95%δ = 1,5σ = 8zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy354453562666768880xy468607080

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy137342545747960xy5405060ŷ = 39

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 39?

n = 5ŷ = 39
x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,85

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 239/6 = 39,83

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−10,83)² + 20,17² + (−4,833)² + (−17,83)² + 5,167² + 8,167² = 958,8

Simpangan baku

s = √(958,8/5) = 13,85

Jawaban

s = 13,85
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,9772

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = −2

Tabel normal baku

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Jawaban

P = 0,9772
3.Peluang

Jawaban: P = 0,2727

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727

Jawaban

P = 0,2727
4.Peluang

Jawaban: σY = 4,717

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 2,1, Var(X) = 0,89, σX = 0,9434

Perubahan linear

σY = |5|·0,9434 = 4,717

Jawaban

σY = 4,717

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·2,1 + 4 = 14,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9063

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05

Luas di antara

P = Φ(2,05) − Φ(−1,45) = 0,9798 − 0,07353 = 0,9063

Jawaban

P = 0,9063
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 77,82 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 poin

Jawaban

x = 77,82 poin
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 67,43

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Margin galat

E = 2,571·11,5/√6 = 12,07

Selang

79,5 ± 12,07 → [67,43, 91,57]

Jawaban

batas bawah = 67,43
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 10094

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2,576·39/1)² = 10093

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 10094

Jawaban

n = 10094
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,394

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Statistik uji

t = (76,33 − 75)/0,5556 = 2,394

Jawaban

t = 2,394
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 449

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 1,645)·8/1,5)² = 448,5

Bulatkan ke atas

n = 449

Jawaban

n = 449
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9139

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 383/6 = 63,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 500,8

Koefisien determinasi

r² = 89,5²/(17,5·500,8) = 0,9139

Jawaban

r² = 0,9139

Sekitar 91,39% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 2,176

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 231/5 = 46,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

Garis regresi

b = 102/40 = 2,55
a = 46,2 − 2,55·5 = 33,45
ŷ = 33,45 + 2,55·x

Selesaikan untuk x

x = (39 − 33,45)/2,55 = 2,176

Jawaban

x = 2,176

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1