Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 34, 27, 33, 34, 22, 20, 25.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 88.

μ = 100σ = 15x = 88

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,1, 0,3, 0,2, 0,05

Var(X) =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X − 3. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,15, 0,2Y = −2X − 3

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 244,25 dan 255 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 255

P =

6.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 10% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 20 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 6,1 dan simpangan baku 0,9. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata selisih.

n = 20d̄ = 6,1s_d = 0,995%t(19) = 2,093

batas bawah = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,8 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 99% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,04?

p ≈ 0,8E = 0,0499%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 50; simpangan baku populasinya diketahui 36. Sampel acak 144 pengamatan memiliki rata-rata 47,36. Uji H₀: μ = 50 melawan H₁: μ < 50. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 47,36H₁: μ < μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 125 dari 250 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 62 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 62n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 24?

n = 5ŷ = 24

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 5,872

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 195/7 = 27,86

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 6,143² + (−0,8571)² + 5,143² + 6,143² + (−5,857)² + (−7,857)² + (−2,857)² = 206,9

Simpangan baku

s = √(206,9/6) = 5,872

Jawaban

s = 5,872

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,8

Standarkan

z = (88 − 100)/15 = −0,8

Jawaban

z = −0,8

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,65

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,2 + 5·0,05 = 2,5

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,2 + 25·0,05 = 7,9

Variansi

Var(X) = 7,9 − 2,5² = 1,65

Jawaban

Var(X) = 1,65

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,917

Sebaran X

μ = 1,85, Var(X) = 2,127, σ_X = 1,459

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1,459 = 2,917

Jawaban

σ_Y = 2,917

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·1,85 − 3 = −6,7.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7163

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Luas di antara

P = Φ(1) − Φ(−1,15) = 0,8413 − 0,1251 = 0,7163

Jawaban

P = 0,7163

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 187 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,9

z dari tabel

z ≈ 1,28

Kembali ke satuan semula

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Jawaban

x = 187 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 5,679 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 19, t = 2,093

Margin galat

E = 2,093·0,9/√20 = 0,4212

Selang

6,1 ± 0,4212 → [5,679, 6,521]

Jawaban

batas bawah = 5,679 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2,576²·0,8·0,2/0,04² = 663,6

Bulatkan ke atas

n = 664

Jawaban

n = 664

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,1894

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 36/√144 = 3

z = (47,36 − 50)/3 = −0,88

Luas ekor

Φ(0,88) = 0,8106

1 − Φ(0,88) = 0,1894

nilai p

p = 0,1894

Jawaban

p = 0,1894

p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −2,033

Proporsi sampel

p̂₁ = 125/250 = 0,5

p̂₂ = 62/100 = 0,62

p̂ = 187/350 = 0,5343

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,5343·0,4657·(1/250 + 1/100)) = 0,05902

Statistik uji

z = (0,5 − 0,62)/0,05902 = −2,033

Jawaban

z = −2,033

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9311

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 115/6 = 19,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 102,8

Koefisien korelasi

r = −39,5/√(17,5·102,8) = −0,9311

Jawaban

r = −0,9311

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 1,643

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Garis regresi

b = −28/10 = −2,8

a = 20,2 − (−2,8)·3 = 28,6

ŷ = 28,6 − 2,8·x

Selesaikan untuk x

x = (24 − 28,6)/(−2,8) = 1,643

Jawaban

x = 1,643

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1