Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 57, 54, 60, 24, 19, 25.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 96.
μ = 100σ = 8x = 96
z =
3.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,15, 0,15, 0,25, 0,2
Var(X) =
4.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,2, 0,35, 0,15, 0,25Y = 0,5X + 20
σY =
5.Distribusi normalSedang
Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 8 di antaranya di bawah 326,8 g. Bulatkan z ke dua desimal.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 326.8 g
P =
6.Distribusi normalSulit
umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 80% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 15 unit memiliki rata-rata 116,5 dan simpangan baku s = 6. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.
n = 15x̄ = 116,5s = 690%t(14) = 1,761
E =
8.Selang kepercayaanSulit
Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 5 petak, rata-rata hasil 54,5 kg, simpangan baku 7 kg. Kelompok petak 2: 9 petak, rata-rata 52,5 kg, simpangan baku 9 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 54,5s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 52,5s₂ = 990%t(12) = 1,782
batas atas = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 50 komponen memiliki rata-rata panjang 51 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 15 mm. Lini 2: sampel 100 komponen memiliki rata-rata 48,3 mm, simpangan baku diketahui 16 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).
n₁ = 50x̄₁ = 51 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 100x̄₂ = 48,3 mmσ₂ = 16 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Sampel 16 pengukuran memiliki rata-rata 100,3. Simpangan baku populasi 4. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.
x̄ = 100,3σ = 4n = 1695%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 6.
n = 6x = 6
ŷ =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 19,01
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 239/6 = 39,83
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 17,17² + 14,17² + 20,17² + (−15,83)² + (−20,83)² + (−14,83)² = 1807
Simpangan baku
s = √(1807/5) = 19,01
Jawaban
s = 19,01
2.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −0,5
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (96 − 100)/8 = −0,5
Jawaban
z = −0,5
3.Peluang
Jawaban: Var(X) = 2,2
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,25 + 5·0,2 = 3
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,25 + 25·0,2 = 11,2
Variansi
Var(X) = 11,2 − 3² = 2,2
Jawaban
Var(X) = 2,2
4.Peluang
Jawaban: σY = 0,5974
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,35, Var(X) = 1,428, σX = 1,195
Perubahan linear
σY = |0,5|·1,195 = 0,5974
Jawaban
σY = 0,5974
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,35 + 20 = 21,18.
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,9772
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi total
μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g
Standarkan
z = (326,8 − 320)/3,394 = 2
Peluang
P = Φ(2) = 0,9772
Jawaban
P = 0,9772
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 466 h
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,2
z dari tabel
z ≈ −0,84
Kembali ke satuan semula
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Jawaban
x = 466 h
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 2,728
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Margin galat
E = 1,761·6/√15 = 2,728
Jawaban
E = 2,728
8.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 10,34 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Simpangan baku gabungan
sp² = (4·7² + 8·9²)/12 = 70,33
sp = 8,386
Margin galat
E = 1,782·8,386·√(1/5 + 1/9) = 8,336
Selang
2 ± 8,336 → [−6,336, 10,34]
Jawaban
batas atas = 10,34 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: z = 1,016
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Galat baku selisih
SE = √(15²/50 + 16²/100) = √7,06 = 2,657
Statistik uji
z = (51 − 48,3)/2,657 = 1,016
Jawaban
z = 1,016
|z| < 1.96, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: L = 98,34
Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).
Margin galat
E = 1,96·4/√16 = 1,96
Batas selang
L = 100,3 − 1,96 = 98,34
Jawaban
L = 98,34
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,8329
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 398/6 = 66,33
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 115,3
Koefisien determinasi
r² = 41²/(17,5·115,3) = 0,8329
Jawaban
r² = 0,8329
Sekitar 83,29% variasi y dijelaskan oleh garis.
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: ŷ = 53,69
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 359/6 = 59,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 215
Garis regresi
b = 215/70 = 3,071
a = 59,83 − 3,071·8 = 35,26
ŷ = 35,26 + 3,071·x
Prediksi
ŷ = 35,26 + 3,071·6 = 53,69
Jawaban
ŷ = 53,69
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1