Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 55, 40, 49, 55, 36.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 163,6.

μ = 170σ = 8x = 163,6

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 8

P =

4.PeluangSulit

12 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 12p = 0,2

P =

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,2586. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,2586

z =

6.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 11 unit memiliki rata-rata 77,5 dan simpangan baku s = 7,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 11x̄ = 77,5s = 7,595%t(10) = 2,228

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 29. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 29E = 395%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 499,3 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 5n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 60 dari 200 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 16 dari 100 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 200x₂ = 16n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 26?

n = 6ŷ = 26

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 8,689

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 235/5 = 47

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 8² + (−7)² + 2² + 8² + (−11)² = 302

Simpangan baku

s = √(302/4) = 8,689

Jawaban

s = 8,689

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,8

Standarkan

z = (163,6 − 170)/8 = −0,8

Jawaban

z = −0,8

3.Peluang

Jawaban: P = 0,05455

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0,05455

Jawaban

P = 0,05455

4.Peluang

Jawaban: P = 0,2749

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,8¹² = 0,06872

P(X = 1) = 12·0,2·0,8¹¹ = 0,2062

Jumlahkan

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Jawaban

P = 0,2749

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,33

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,2586)/2 = 0,6293

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,6293 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,33

Jawaban

z = 0,33

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 119,2 poin

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 poin

Jawaban

x = 119,22 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 72,46

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Margin galat

E = 2,228·7,5/√11 = 5,038

Selang

77,5 ± 5,038 → [72,46, 82,54]

Jawaban

batas bawah = 72,46

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 359

Selesaikan untuk n

n = (1,96·29/3)² = 359

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 359

Jawaban

n = 359

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,84

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistik uji

t = (499,3 − 500)/0,8333 = −0,84

Jawaban

t = −0,84

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,628

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporsi sampel

p̂₁ = 60/200 = 0,3

p̂₂ = 16/100 = 0,16

p̂ = 76/300 = 0,2533

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,2533·0,7467·(1/200 + 1/100)) = 0,05327

Statistik uji

z = (0,3 − 0,16)/0,05327 = 2,628

Jawaban

z = 2,628

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9801

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 316/5 = 63,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 210,8

Koefisien korelasi

r = 45/√(10·210,8) = 0,9801

Jawaban

r = 0,9801

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 1,256

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 136/6 = 22,67

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Garis regresi

b = −26/17,5 = −1,486

a = 22,67 − (−1,486)·3,5 = 27,87

ŷ = 27,87 − 1,486·x

Selesaikan untuk x

x = (26 − 27,87)/(−1,486) = 1,256

Jawaban

x = 1,256

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1