Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 31, 17, 30, 14, 55.

n = 5

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 50. Tentukan skor z z untuk nilai 440.

μ = 500σ = 50x = 440

z =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 5 orang dapat dipilih dari kelompok 12 orang? Urutan tidak penting.

n = 12k = 5

N =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,1, 0,25, 0,15Y = 10X + 1

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Massa kotak saling bebas dan normal dengan rata-rata 12 kg dan simpangan baku 0,8 kg. Cari peluang P bahwa massa total 9 di antaranya di bawah 106,8 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9< 106.8 kg

P =

6.Distribusi normalSulit

Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Selang kepercayaanSedang

Selang kepercayaan 90% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 9,4. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 128 pengamatan?

90%n₁ = 64E₁ = 9,4n₂ = 128

E₂ =

8.Selang kepercayaanSulit

Diameter 15 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 14, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 5,629 dan 2,5% berada di atas 26,119.

n = 15s = 7 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua metode pengajaran dibandingkan. Kelompok 1: 14 siswa, rata-rata nilai 71, simpangan baku 11. Kelompok 2: 7 siswa, rata-rata nilai 84,2, simpangan baku 2. Anggap varians populasinya sama dan gunakan uji t dua sampel gabungan. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (kelompok 1 dikurangi kelompok 2).

n₁ = 14x̄₁ = 71s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 84,2s₂ = 2

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3? Simpangan bakunya 10. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 10E = 399%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (27,5, 105) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(27,5, 105)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,2

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 147/5 = 29,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 1,6² + (−12,4)² + 0,6² + (−15,4)² + 25,6² = 1049

Simpangan baku

s = √(1049/4) = 16,2

Jawaban

s = 16,2

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,2

Standarkan

z = (440 − 500)/50 = −1,2

Jawaban

z = −1,2

3.Peluang

Jawaban: N = 792

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Jawaban

N = 792

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 13,38

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1,9, Var(X) = 1,79, σ_X = 1,338

Perubahan linear

σ_Y = |10|·1,338 = 13,38

Jawaban

σ_Y = 13,38

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·1,9 + 1 = 20.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3085

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Standarkan

z = (106,8 − 108)/2,4 = −0,5

Peluang

P = Φ(−0,5) = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085

6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Distribusi selisih

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standarkan

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Peluang

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 6,647

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/128) = 0,7071

Margin baru

E₂ = 9,4·0,7071 = 6,647

Jawaban

E₂ = 6,647

8.Selang kepercayaan

Jawaban: σ = 5,125 µm

Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.

Jumlah kuadrat

(n − 1)s² = 14·7² = 686

Batas untuk σ²

686/26,119 = 26,26

686/5,629 = 121,9

Batas untuk σ

σ = √26,26 = 5,125 µm

Jawaban

σ = 5,125 µm

Selang 95% untuk σ: [5,125, 11,04] µm.

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3,11

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians gabungan

s_p² = (13·11² + 6·2²)/19 = 84,05

s_p = 9,168

Galat baku

SE = 9,168·√(1/14 + 1/7) = 4,244

Statistik uji

t = (71 − 84,2)/4,244 = −3,11

Jawaban

t = −3,11

Dengan df = 19, nilai kritis dua sisi 5% adalah 2,093; |t| lebih besar, jadi H₀ ditolak.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 74

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Selesaikan untuk n

n = (2,576·10/3)² = 73,73

Bulatkan ke atas

n = 74

Jawaban

n = 74

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r² = 0,9666

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 96/6 = 16

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 298

Koefisien determinasi

r² = 142²/(70·298) = 0,9666

Jawaban

r² = 0,9666

Sekitar 96,66% variasi y dijelaskan oleh garis.

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −3,557

Rata-rata

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 483/6 = 80,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 736,5

Garis regresi

b = 736,5/157,5 = 4,676

a = 80,5 − 4,676·21,5 = −20,04

ŷ = −20,04 + 4,676·x

Nilai prediksi

ŷ = −20,04 + 4,676·27,5 = 108,6

Residu

e = 105 − 108,6 = −3,557

Jawaban

e = −3,557

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1