Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 58, 12, 47, 47, 26, 60.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 10. Tentukan skor z z untuk nilai 55.

μ = 60σ = 10x = 55

z =

3.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 2 orang dapat dipilih dari kelompok 8 orang? Urutan tidak penting.

n = 8k = 2

N =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 5. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 5

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 174,5 dan 179,4 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 179,4

P =

6.Distribusi normalSulit

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 97,5% data (persentil ke-97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 50 ponsel, rata-rata 52 h, simpangan baku diketahui 8 h. Model 2: 40 ponsel, rata-rata 57 h, simpangan baku diketahui 15 h. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 52 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 57 hσ₂ = 15 h95%

batas atas = h

8.Selang kepercayaanSulit

Tidak ada yang diketahui sebelumnya tentang proporsi produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 90% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,03?

p = 0,5E = 0,0390%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 36 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 498,5 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,5s = 5n = 36

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1? Simpangan bakunya 4. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 4E = 190%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,9

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 250/6 = 41,67

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 16,33² + (−29,67)² + 5,333² + 5,333² + (−15,67)² + 18,33² = 1785

Simpangan baku

s = √(1785/5) = 18,9

Jawaban

s = 18,9

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −0,5

Standarkan

z = (55 − 60)/10 = −0,5

Jawaban

z = −0,5

3.Peluang

Jawaban: N = 28

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Jawaban

N = 28

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,51

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Perubahan linear

σ_Y = |3|·0,8367 = 2,51

Jawaban

σ_Y = 2,51

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 3·1 + 5 = 8.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,2707

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(−0,5) = 0,5793 − 0,3085 = 0,2707

Jawaban

P = 0,2707

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 129,4 poin

z untuk persentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Kembali ke x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 poin

Jawaban

x = 129,4 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 0,1504 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 52 − 57 = −5

Galat baku

SE = √(8²/50 + 15²/40) = 2,628

Margin galat

E = 1,96·2,628 = 5,15

Selang

−5 ± 5,15 → [−10,15, 0,1504]

Jawaban

batas atas = 0,1504 h

Selang memuat 0, jadi data tidak menunjukkan perbedaan yang signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Bulatkan ke atas

n = 752

Jawaban

n = 752

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Statistik uji

t = (498,5 − 500)/0,8333 = −1,8

Jawaban

t = −1,8

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 44

Selesaikan untuk n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Bulatkan ke atas

n = 44

Jawaban

n = 44

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9851

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 101/5 = 20,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 334,8

Koefisien korelasi

r = 114/√(40·334,8) = 0,9851

Jawaban

r = 0,9851

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 7,171

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 68/5 = 13,6

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

Garis regresi

b = 82/40 = 2,05

a = 13,6 − 2,05·6 = 1,3

ŷ = 1,3 + 2,05·x

Selesaikan untuk x

x = (16 − 1,3)/2,05 = 7,171

Jawaban

x = 7,171

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1