Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 11, 24, 26, 28, 33, 42, 21.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan simpangan baku 75. Berapa proporsi P nilai di atas 593,8?

μ = 500σ = 75x = 593,8

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 7 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

7 / 6

P =

4.PeluangSulit

7 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 7p = 0,2

P =

5.Distribusi normalSedang

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 250 dan 252,75 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 252,75

P =

6.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 25 unit memiliki rata-rata 77 dan simpangan baku s = 4,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

n = 25x̄ = 77s = 4,590%t(24) = 1,711

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa sekitar 0,6 produk cacat. Berapa produk n yang harus diperiksa agar selang kepercayaan 95% untuk proporsi memiliki margin galat paling banyak 0,04?

p ≈ 0,6E = 0,0495%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 30 komponen memiliki rata-rata panjang 129,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 19 mm. Lini 2: sampel 50 komponen memiliki rata-rata 119,2 mm, simpangan baku diketahui 11 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 30x̄₁ = 129,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 50x̄₂ = 119,2 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Dalam suatu uji klinis, 210 dari 300 pasien dengan perlakuan A sembuh, dan 177 dari 300 pasien dengan perlakuan B. Dengan proporsi gabungan, tentukan statistik uji z untuk H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 210n₁ = 300x₂ = 177n₂ = 300

z =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 35Σy = 386Σx² = 285Σy² = 30336Σxy = 2844

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 9,676

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 185/7 = 26,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−15,43)² + (−2,429)² + (−0,4286)² + 1,571² + 6,571² + 15,57² + (−5,429)² = 561,7

Simpangan baku

s = √(561,7/6) = 9,676

Jawaban

s = 9,676

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1056

Standarkan

z = 1,25

Tabel normal baku

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Jawaban

P = 0,1056

3.Peluang

Jawaban: P = 0,2692

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Jawaban

P = 0,2692

4.Peluang

Jawaban: P = 0,5767

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Jumlahkan

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Jawaban

P = 0,5767

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,2088

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

Luas di antara

P = Φ(0,55) − Φ(0) = 0,7088 − 0,5 = 0,2088

Jawaban

P = 0,2088

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 166,5 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Kembali ke x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Jawaban

x = 166,49 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 1,54

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Margin galat

E = 1,711·4,5/√25 = 1,54

Jawaban

E = 1,54

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 577

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,04² = 576,2

Bulatkan ke atas

n = 577

Jawaban

n = 577

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,709

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(19²/30 + 11²/50) = √14,45 = 3,802

Statistik uji

z = (129,5 − 119,2)/3,802 = 2,709

Jawaban

z = 2,709

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = 2,815

Proporsi sampel

p̂₁ = 210/300 = 0,7

p̂₂ = 177/300 = 0,59

p̂ = 387/600 = 0,645

Galat baku menurut H₀

SE = √(0,645·0,355·(1/300 + 1/300)) = 0,03907

Statistik uji

z = (0,7 − 0,59)/0,03907 = 2,815

Jawaban

z = 2,815

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9691

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 2844 − 35·386/5 = 142

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 30336 − 386²/5 = 536,8

Koefisien korelasi

r = 142/√(40·536,8) = 0,9691

Jawaban

r = 0,9691

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 19,03

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 131/6 = 21,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24,5

Garis regresi

b = −24,5/17,5 = −1,4

a = 21,83 − (−1,4)·3,5 = 26,73

ŷ = 26,73 − 1,4·x

Prediksi

ŷ = 26,73 + (−1,4)·5,5 = 19,03

Jawaban

ŷ = 19,03

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1