Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 27, 33, 41, 20, 58, 21, 45.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 40.

μ = 50σ = 5x = 40

z =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 9

P =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 10 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,6, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 3 jawaban benar?

n = 10p = 0,6k = 3

P =

5.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 4 g; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 500 g dan simpangan baku 9 g. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 759,8 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759,8 g

P =

6.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 30% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 16 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata −3,3 dan simpangan baku 6,3. Tentukan batas atas selang kepercayaan 95% untuk rata-rata selisih.

n = 16d̄ = −3,3s_d = 6,395%t(15) = 2,131

batas atas = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 10 petak, rata-rata hasil 95,5 kg, simpangan baku 2 kg. Kelompok petak 2: 12 petak, rata-rata 90 kg, simpangan baku 6,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 95,5s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 90s₂ = 6,590%t(20) = 1,725

batas atas = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 64 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 97,75 dan simpangan baku sampel 20. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,75s = 20n = 64

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Seberapa besar sampel harus agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 2,5? Simpangan bakunya 10. Tentukan ukuran sampel terkecil n.

σ = 10E = 2,590%

n =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 234Σx² = 91Σy² = 9478Σxy = 893

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 3.

n = 5x = 3

ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,87

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 245/7 = 35

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−8)² + (−2)² + 6² + (−15)² + 23² + (−14)² + 10² = 1154

Simpangan baku

s = √(1154/6) = 13,87

Jawaban

s = 13,87

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −2

Standarkan

z = (40 − 50)/5 = −2

Jawaban

z = −2

3.Peluang

Jawaban: P = 0,04545

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545

Jawaban

P = 0,04545

4.Peluang

Jawaban: P = 0,04247

Rumus binomial

P(X = 3) = 120·0,6³·0,4⁷ = 120·0,216·0,001638 = 0,04247

Jawaban

P = 0,04247

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,1587

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standarkan

z = (759,8 − 750)/9,849 = 1

Ekor atas

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 181,6 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,7

z dari tabel

z ≈ 0,52

Kembali ke satuan semula

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Jawaban

x = 181,6 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 0,05632 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 15, t = 2,131

Margin galat

E = 2,131·6,3/√16 = 3,356

Selang

−3,3 ± 3,356 → [−6,656, 0,05632]

Jawaban

batas atas = 0,05632 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = 9,196 kg

Simpangan baku gabungan

s_p² = (9·2² + 11·6,5²)/20 = 25,04

s_p = 5,004

Margin galat

E = 1,725·5,004·√(1/10 + 1/12) = 3,696

Selang

5,5 ± 3,696 → [1,804, 9,196]

Jawaban

batas atas = 9,196 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −0,9

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Statistik uji

t = (97,75 − 100)/2,5 = −0,9

Jawaban

t = −0,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 44

Selesaikan untuk n

n = (1,645·10/2,5)² = 43,3

Bulatkan ke atas

n = 44

Jawaban

n = 44

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9428

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 893 − 21·234/6 = 74

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 9478 − 234²/6 = 352

Koefisien korelasi

r = 74/√(17,5·352) = 0,9428

Jawaban

r = 0,9428

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 3,15

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 42/5 = 8,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

Garis regresi

b = 70/40 = 1,75

a = 8,4 − 1,75·6 = −2,1

ŷ = −2,1 + 1,75·x

Prediksi

ŷ = −2,1 + 1,75·3 = 3,15

Jawaban

ŷ = 3,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1