Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 47, 16, 33, 41, 15, 37, 23.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 72?

μ = 60σ = 8x = 72

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

3 / 5

P =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €1 untuk dimainkan. Anda memenangkan €4 dengan peluang 0,3 dan €50 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €1€4: p = 0,3€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9281. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9281

z =

6.Distribusi normalSulit

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 97,5% data (persentil ke-97,5).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 13 unit memiliki rata-rata 109,5 dan simpangan baku s = 3,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

n = 13x̄ = 109,5s = 3,599%t(12) = 3,055

E =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 32. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 99% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 1,5?

σ = 32E = 1,599%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 100; simpangan baku populasinya diketahui 15. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 103,21. Uji H₀: μ = 100 melawan H₁: μ ≠ 100. Tentukan nilai p p.

μ₀ = 100σ = 15n = 100x̄ = 103,21H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 49 pengukuran memiliki rata-rata 118,2. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 118,2σ = 8n = 4995%

U =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 50Σx² = 220Σy² = 626Σxy = 370

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 212/7 = 30,29

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 16,71² + (−14,29)² + 2,714² + 10,71² + (−15,29)² + 6,714² + (−7,286)² = 937,4

Simpangan baku

s = √(937,4/6) = 12,5

Jawaban

s = 12,5

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,06681

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681

3.Peluang

Jawaban: P = 0,1071

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071

Jawaban

P = 0,1071

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 0,7 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 3 (p = 0,3), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)

Nilai harapan

E(G) = 3·0,3 + 49·0,01 − 1·0,69 = 0,7 €

Jawaban

E(G) = 0,7 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,8

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9281)/2 = 0,9641

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9641 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,80

Jawaban

z = 1,80

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 43,76 min

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Kembali ke x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Jawaban

x = 43,76 min

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,966

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Margin galat

E = 3,055·3,5/√13 = 2,966

Jawaban

E = 2,966

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 3021

Selesaikan untuk n

n = (2,576·32/1,5)² = 3020

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 3021

Jawaban

n = 3021

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: p = 0,03235

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik uji

SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5

z = (103,21 − 100)/1,5 = 2,14

Luas ekor

Φ(2,14) = 0,9838

1 − Φ(2,14) = 0,0162

nilai p

p = 2·0,0162 = 0,03235

Jawaban

p = 0,03235

p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 120,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·8/√49 = 2,24

Batas selang

U = 118,2 + 2,24 = 120,4

Jawaban

U = 120,4

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,986

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 370 − 30·50/5 = 70

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 626 − 50²/5 = 126

Koefisien korelasi

r = 70/√(40·126) = 0,986

Jawaban

r = 0,986

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 5,04

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100

Garis regresi

b = 100/40 = 2,5

a = 18,4 − 2,5·6 = 3,4

ŷ = 3,4 + 2,5·x

Selesaikan untuk x

x = (16 − 3,4)/2,5 = 5,04

Jawaban

x = 5,04

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1