Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistika Dasar: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
2Soal latihan
1.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 54, 18, 44, 16, 42, 11.
n = 6
s =
2.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di atas 64?
μ = 70σ = 5x = 64
P =
3.PeluangSedang
Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 15 orang? Urutan tidak penting.
n = 15k = 4
N =
4.PeluangSulit
6 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,1. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?
n = 6p = 0,1
P =
5.Distribusi normalSedang
Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 244,25 dan 254 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 254
P =
6.Distribusi normalSulit
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 5% data (persentil ke-5).
μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
7.Selang kepercayaanSedang
Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 11. Berapa margin galat E₂ selang 99% berdasarkan 256 pengamatan?
95%n₁ = 64E₁ = 1199%n₂ = 256
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
Diameter 11 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 3,7 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas atas σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 10, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 3,247 dan 2,5% berada di atas 20,483.
n = 11s = 3,7 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 500; simpangan baku populasinya diketahui 4. Sampel acak 64 pengamatan memiliki rata-rata 498,93. Uji H₀: μ = 500 melawan H₁: μ < 500. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 500σ = 4n = 64x̄ = 498,93H₁: μ < μ₀
p =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi untuk H₀: μ = 50 melawan H₁: μ < 50 dilakukan pada α = 0.10 dengan sampel berukuran 100; simpangan bakunya diketahui 30. Kenyataannya, rata-ratanya 46.7. Tentukan kuasa 1 − β uji dalam persen.
μ₀ = 50μ = 46,7σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.
n = 5Σx = 25Σy = 254Σx² = 165Σy² = 13758Σxy = 1452
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (3,5, 20) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 20)
e =
3Larutan
1.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 17,96
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 185/6 = 30,83
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 23,17² + (−12,83)² + 13,17² + (−14,83)² + 11,17² + (−19,83)² = 1613
Simpangan baku
s = √(1613/5) = 17,96
Jawaban
s = 17,96
2.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,8849
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = −1,2
Tabel normal baku
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Jawaban
P = 0,8849
3.Peluang
Jawaban: N = 1365
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasi
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
Jawaban
N = 1365
4.Peluang
Jawaban: P = 0,8857
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nol dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543
Jumlahkan
P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
Jawaban
P = 0,8857
5.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,6631
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Luas di antara
P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631
Jawaban
P = 0,6631
6.Distribusi normal
Jawaban: x = 434,2 h
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
z untuk persentil
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Kembali ke x
x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h
Jawaban
x = 434,2 h
7.Selang kepercayaan
Jawaban: E₂ = 7,229
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rasio margin
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/256) = 0,6571
Margin baru
E₂ = 11·0,6571 = 7,229
Jawaban
E₂ = 7,229
8.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 6,493 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 10·3,7² = 136,9
Batas untuk σ²
136,9/20,483 = 6,684
136,9/3,247 = 42,16
Batas untuk σ
σ = √42,16 = 6,493 µm
Jawaban
σ = 6,493 µm
Selang 95% untuk σ: [2,585, 6,493] µm.
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,01618
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (498,93 − 500)/0,5 = −2,14
Luas ekor
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
nilai p
p = 0,01618
Jawaban
p = 0,01618
p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.
10.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: 1 − β = 42,78 %
Kuasa uji: kuasa = 1 − β adalah probabilitas menolak H₀ ketika H₀ salah. Cari batas x̄c dari μ₀ dan z_α, lalu hitung probabilitas berada di luar x̄c dengan memakai rata-rata sebenarnya: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Rata-rata sampel kritis
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 50 − 1,282·3 = 46,15
z menurut rata-rata sebenarnya
z = (46,15 − 46,7)/3 = −0,182
Daya
kuasa = P(Z < −0.182) = 42.78%
1 − β = 42,78%
Jawaban
1 − β = 42,78%
11.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9843
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Jumlah terpusat
Sxy = 1452 − 25·254/5 = 182
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 13758 − 254²/5 = 854,8
Koefisien korelasi
r = 182/√(40·854,8) = 0,9843
Jawaban
r = 0,9843
12.Regresi linear & korelasi
Jawaban: e = −1,833
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 131/6 = 21,83
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53,5
Garis regresi
b = −53,5/17,5 = −3,057
a = 21,83 − (−3,057)·3,5 = 32,53
ŷ = 32,53 − 3,057·x
Nilai prediksi
ŷ = 32,53 + (−3,057)·3,5 = 21,83
Residu
e = 20 − 21,83 = −1,833
Jawaban
e = −1,833
Titik terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1