Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 57, 50, 22, 27, 11, 16, 23.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 38?

μ = 50σ = 12x = 38

P =

3.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 8 bola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

8 / 8

P =

4.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €5 untuk dimainkan. Anda memenangkan €25 dengan peluang 0,3 dan €250 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €5€25: p = 0,3€250: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,7775. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7775

z =

6.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 5% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin5%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 4,6. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 576 pengamatan?

99%n₁ = 64E₁ = 4,6n₂ = 576

E₂ =

8.Selang kepercayaanSulit

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 5 petak, rata-rata hasil 26 kg, simpangan baku 8 kg. Kelompok petak 2: 9 petak, rata-rata 38 kg, simpangan baku 2 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 26s₁ = 8n₂ = 9x̄₂ = 38s₂ = 299%t(12) = 3,055

batas atas = kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 100 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 118,8 dan simpangan baku sampel 4. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,8s = 4n = 100

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 36 pengukuran memiliki rata-rata 122,1. Simpangan baku populasi 8. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 90% untuk rata-rata.

x̄ = 122,1σ = 8n = 3690%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 73Σx² = 220Σy² = 1215Σxy = 512

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (8, 41) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 5(8, 41)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 17,35

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 206/7 = 29,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 27,57² + 20,57² + (−7,429)² + (−2,429)² + (−18,43)² + (−13,43)² + (−6,429)² = 1806

Simpangan baku

s = √(1806/6) = 17,35

Jawaban

s = 17,35

2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1587

Standarkan

z = −1

Tabel normal baku

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

3.Peluang

Jawaban: P = 0,2333

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Jawaban

P = 0,2333

4.Peluang

Jawaban: E(G) = 15 €

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Hasil bersih

G: 20 (p = 0,3), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)

Nilai harapan

E(G) = 20·0,3 + 245·0,05 − 5·0,65 = 15 €

Jawaban

E(G) = 15 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

5.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,22

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,7775)/2 = 0,8888

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8888 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,22

Jawaban

z = 1,22

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 124,6 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,95

z dari tabel

z ≈ 1,64

Kembali ke satuan semula

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 poin

Jawaban

x = 124,6 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 1,533

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333

Margin baru

E₂ = 4,6·0,3333 = 1,533

Jawaban

E₂ = 1,533

8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas atas = −3,652 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

s_p² = (4·8² + 8·2²)/12 = 24

s_p = 4,899

Margin galat

E = 3,055·4,899·√(1/5 + 1/9) = 8,348

Selang

−12 ± 8,348 → [−20,35, −3,652]

Jawaban

batas atas = −3,652 kg

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −3

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Statistik uji

t = (118,8 − 120)/0,4 = −3

Jawaban

t = −3

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 119,9

Margin galat

E = 1,645·8/√36 = 2,193

Batas selang

L = 122,1 − 2,193 = 119,9

Jawaban

L = 119,9

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9579

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 512 − 30·73/5 = 74

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1215 − 73²/5 = 149,2

Koefisien korelasi

r = 74/√(40·149,2) = 0,9579

Jawaban

r = 0,9579

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −4

Rata-rata

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 177/5 = 35,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Garis regresi

b = 128/40 = 3,2

a = 35,4 − 3,2·5 = 19,4

ŷ = 19,4 + 3,2·x

Nilai prediksi

ŷ = 19,4 + 3,2·8 = 45

Residu

e = 41 − 45 = −4

Jawaban

e = −4

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1