Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
101520253035404550

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 36, 42, 54, 28, 10, 52, 19.

n = 7
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di atas 56?

μ = 50σ = 10x = 56
P =
3.PeluangSedang
P(paling sedikit satu enam) = ??1?2?3P(enam) = 1/6 pada setiap lemparan

Sebuah dadu adil dilempar 3 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 3
P =
4.PeluangSulit
n = 8, p = 0,7: P(X = 2) = ?k012345678

Sebuah tes memiliki 8 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,7, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 2 jawaban benar?

n = 8p = 0,7k = 2
P =
5.Distribusi normalSedang
247,5252,5P = ?

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Berapa proporsi yang berada di antara 247,5 dan 252,5 g? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 250σ = 5x1 = 247,5x2 = 252,5
P =
6.Distribusi normalSulit
235240245250255260265gatas 30%

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 30% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.Selang kepercayaanSedang
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

Daya tahan baterai dua model ponsel dibandingkan. Model 1: 60 ponsel, rata-rata 150 h, simpangan baku diketahui 14 h. Model 2: 30 ponsel, rata-rata 137 h, simpangan baku diketahui 9 h. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 150 hσ₁ = 14 hn₂ = 30x̄₂ = 137 hσ₂ = 9 h90%
batas bawah = h
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

Simpangan baku populasi adalah 29. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?

σ = 29E = 590%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −1,9901,99

Sampel 81 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 79,83 dan simpangan baku sampel 15. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79,83s = 15n = 81
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 81 pengukuran memiliki rata-rata 197,4. Simpangan baku populasi 10. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 197,4σ = 10n = 8195%
L =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy133231337446549656xy246304050

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy125222318416517615xy246152025x = 1,5

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (1,5, 21) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 21)
e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,47

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 241/7 = 34,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 1,571² + 7,571² + 19,57² + (−6,429)² + (−24,43)² + 17,57² + (−15,43)² = 1628

Simpangan baku

s = √(1628/6) = 16,47

Jawaban

s = 16,47
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,2743

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 0,6

Tabel normal baku

Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Jawaban

P = 0,2743
3.Peluang

Jawaban: P = 0,4213

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Jawaban

P = 0,4213
4.Peluang

Jawaban: P = 0,01

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 2) = 28·0,72·0,36 = 28·0,49·0,000729 = 0,01

Jawaban

P = 0,01
5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,3829

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (247,5 − 250)/5 = −0,5
z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Luas di antara

P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3829

Jawaban

P = 0,3829
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 252,6 g

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,7

z dari tabel

z ≈ 0,52

Kembali ke satuan semula

x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g

Jawaban

x = 252,6 g
7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 8,982 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimasi titik

x̄₁ − x̄₂ = 150 − 137 = 13

Galat baku

SE = √(14²/60 + 9²/30) = 2,443

Margin galat

E = 1,645·2,443 = 4,018

Selang

13 ± 4,018 → [8,982, 17,02]

Jawaban

batas bawah = 8,982 h

Selang tidak memuat 0, jadi rata-ratanya berbeda secara signifikan.

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 92

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·29/5)² = 91,03

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 92

Jawaban

n = 92
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 2,898

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Statistik uji

t = (79,83 − 75)/1,667 = 2,898

Jawaban

t = 2,898
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 195,2

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·10/√81 = 2,178

Batas selang

L = 197,4 − 2,178 = 195,2

Jawaban

L = 195,2
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9631

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 252/6 = 42

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 89
Syy = Σ(y − ȳ)² = 488

Koefisien korelasi

r = 89/√(17,5·488) = 0,9631

Jawaban

r = 0,9631
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,662

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5

Garis regresi

b = −33,5/17,5 = −1,914
a = 18,83 − (−1,914)·3,5 = 25,53
ŷ = 25,53 − 1,914·x

Nilai prediksi

ŷ = 25,53 + (−1,914)·1,5 = 22,66

Residu

e = 21 − 22,66 = −1,662

Jawaban

e = −1,662

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1