Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 18, 51, 40, 50, 15, 46.

n = 6

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 154.

μ = 170σ = 8x = 154

z =

3.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,15, 0,15

Var(X) =

4.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 8 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,1, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 4 jawaban benar?

n = 8p = 0,1k = 4

P =

5.Distribusi normalSedang

Massa baut saling bebas dan normal dengan rata-rata 40 g dan simpangan baku 1,2 g. Cari peluang P bahwa massa total 10 di antaranya melebihi 394,3 g. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 394,3 g

P =

6.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 80% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin80%

x = poin

7.Selang kepercayaanSedang

Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 41 dan simpangan baku s = 17. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas bawah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

n = 12x̄ = 41s = 1795%t(11) = 2,201

batas bawah =

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 25. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 5?

σ = 25E = 595%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 204,1 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,1s = 12n = 25

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 16 pengukuran memiliki rata-rata 95. Simpangan baku populasi 20. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.

x̄ = 95σ = 20n = 1699%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 362Σx² = 220Σy² = 26776Σxy = 2318

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Sebuah pengamatan baru (6, 58) dilakukan. Cari residunya e = y − ŷ.

n = 6(6, 58)

e =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 16,12

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 220/6 = 36,67

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−18,67)² + 14,33² + 3,333² + 13,33² + (−21,67)² + 9,333² = 1299

Simpangan baku

s = √(1299/5) = 16,12

Jawaban

s = 16,12

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −2

Standarkan

z = (154 − 170)/8 = −2

Jawaban

z = −2

3.Peluang

Jawaban: Var(X) = 2,127

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,15 = 1,65

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,15 = 4,85

Variansi

Var(X) = 4,85 − 1,65² = 2,127

Jawaban

Var(X) = 2,127

4.Peluang

Jawaban: P = 0,004593

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 4) = 70·0,1⁴·0,9⁴ = 70·0,0001·0,6561 = 0,004593

Jawaban

P = 0,004593

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Standarkan

z = (394,3 − 400)/3,795 = −1,5

Peluang

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 112,6 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,8

z dari tabel

z ≈ 0,84

Kembali ke satuan semula

x = 100 + 0,84·15 = 112,6 poin

Jawaban

x = 112,6 poin

7.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = 30,2

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Nilai kritis

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margin galat

E = 2,201·17/√12 = 10,8

Selang

41 ± 10,8 → [30,2, 51,8]

Jawaban

batas bawah = 30,2

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 97

Selesaikan untuk n

n = (1,96·25/5)² = 96,04

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 97

Jawaban

n = 97

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = 1,708

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Statistik uji

t = (204,1 − 200)/2,4 = 1,708

Jawaban

t = 1,708

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 82,12

Margin galat

E = 2,576·20/√16 = 12,88

Batas selang

L = 95 − 12,88 = 82,12

Jawaban

L = 82,12

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9693

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

S_xy = 2318 − 30·362/5 = 146

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 26776 − 362²/5 = 567,2

Koefisien korelasi

r = 146/√(40·567,2) = 0,9693

Jawaban

r = 0,9693

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: e = −1,5

Rata-rata

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 357/6 = 59,5

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231

Garis regresi

b = 231/70 = 3,3

a = 59,5 − 3,3·6 = 39,7

ŷ = 39,7 + 3,3·x

Nilai prediksi

ŷ = 39,7 + 3,3·6 = 59,5

Residu

e = 58 − 59,5 = −1,5

Jawaban

e = −1,5

Titik terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1