Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
2530354045505560

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 42, 26, 24, 60, 43.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Tentukan skor z z untuk nilai 62,5.

μ = 70σ = 5x = 62,5
z =
3.PeluangSedang
merah: 7biru: 4

Sebuah kantong berisi 7 bola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

7 / 4
P =
4.PeluangSulit
n = 10, p = 0,2: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

10 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 10p = 0,2
P =
5.Distribusi normalSedang
1360 kg1432 kgT = X₁ + … + X₁₆?

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 16 di antaranya di bawah 1432 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1432 kg
P =
6.Distribusi normalSulit
10 cm0X − Y?

Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Selang kepercayaanSedang
x̄E₁ = 8,599%, n = 64x̄E₂ = ?90%, n = 256

Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata, berdasarkan 64 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 8,5. Berapa margin galat E₂ selang 90% berdasarkan 256 pengamatan?

99%n₁ = 64E₁ = 8,590%n₂ = 256
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
μ₁ − μ₂, t(14) = 2,9770L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

Dua jenis pupuk diuji. Kelompok petak 1: 7 petak, rata-rata hasil 86 kg, simpangan baku 1 kg. Kelompok petak 2: 9 petak, rata-rata 90 kg, simpangan baku 6,5 kg. Anggap variansnya sama (t gabungan, df = n₁ + n₂ − 2). Tentukan batas bawah selang kepercayaan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 86s₁ = 1n₂ = 9x̄₂ = 90s₂ = 6,599%t(14) = 2,977
batas bawah = kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
t −2,06402,064

Sampel 25 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 48,2 dan simpangan baku sampel 5. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,2s = 5n = 25
t =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
z −1,9601,96

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 504,9. Simpangan baku populasi 15. Tentukan batas atas U selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 504,9σ = 15n = 6495%
U =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy126224323420513xy24152025

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = umur mobil dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy1373585657789841193xy510406080x = 8

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 8.

n = 6x = 8
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,66

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 195/5 = 39

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 3² + (−13)² + (−15)² + 21² + 4² = 860

Simpangan baku

s = √(860/4) = 14,66

Jawaban

s = 14,66
2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,5

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = (62,5 − 70)/5 = −1,5

Jawaban

z = −1,5
3.Peluang

Jawaban: P = 0,3818

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 7/11 · 6/10 = 42/110 = 0,3818

Jawaban

P = 0,3818
4.Peluang

Jawaban: P = 0,3758

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,810 = 0,1074
P(X = 1) = 10·0,2·0,89 = 0,2684

Jumlahkan

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Jawaban

P = 0,3758
5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg

Standarkan

z = (1432 − 1360)/48 = 1,5

Peluang

P = Φ(1,5) = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332
6.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7389

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standarkan

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Peluang

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Jawaban

P = 0,7389
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 2,714

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/256) = 0,3193

Margin baru

E₂ = 8,5·0,3193 = 2,714

Jawaban

E₂ = 2,714
8.Selang kepercayaan

Jawaban: batas bawah = −11,44 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Simpangan baku gabungan

sp² = (6·1² + 8·6,5²)/14 = 24,57
sp = 4,957

Margin galat

E = 2,977·4,957·√(1/7 + 1/9) = 7,437

Selang

−4 ± 7,437 → [−11,44, 3,437]

Jawaban

batas bawah = −11,44 kg
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,8

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistik uji

t = (48,2 − 50)/1 = −1,8

Jawaban

t = −1,8
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: U = 508,6

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Margin galat

E = 1,96·15/√64 = 3,675

Batas selang

U = 504,9 + 3,675 = 508,6

Jawaban

U = 508,6
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = −0,9357

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 106/5 = 21,2

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 102,8

Koefisien korelasi

r = −30/√(10·102,8) = −0,9357

Jawaban

r = −0,9357
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 79,77

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 415/6 = 69,17

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371

Garis regresi

b = 371/70 = 5,3
a = 69,17 − 5,3·6 = 37,37
ŷ = 37,37 + 5,3·x

Prediksi

ŷ = 37,37 + 5,3·8 = 79,77

Jawaban

ŷ = 79,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1