Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata
x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z
z = (x − μ)/σ
Distribusi normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen
P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Distribusi normal

Skor z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Metode

  1. Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
  4. Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

  1. Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
  2. Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
  3. Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan
x̄ ± z·σ/√n

Metode

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
  2. Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
  4. Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan
b = Sxy/Sxx
Intersep
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang
202530354045

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 17, 42, 48, 46, 28.

n = 5
s =
2.Statistika deskriptifSulit
z −2−1012

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di atas 188?

μ = 170σ = 12x = 188
P =
3.PeluangSedang
xp(x)00,3510,3520,3μ = 0,95

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
σ =
4.PeluangSulit
xp(x)00,1520,340,260,35μ

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 1. Cari simpangan baku σY dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35Y = 5X + 1
σY =
5.Distribusi normalSedang
200 mm199,8 mmX + Y?

X normal dengan rata-rata 120 mm dan simpangan baku 0,3 mm; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 80 mm dan simpangan baku 0,4 mm. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 199,8 mm. Bulatkan z ke dua desimal.

μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
6.Distribusi normalSulit
157164171178185192199cmbawah 90%

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 90% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
7.Selang kepercayaanSedang
x̄E₁ = 595%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 450

Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata, berdasarkan 50 pengamatan dan σ diketahui, memiliki margin galat 5. Berapa margin galat E₂ jika penelitian yang sama memakai 450 pengamatan?

95%n₁ = 50E₁ = 5n₂ = 450
E₂ =
8.Selang kepercayaanSulit
σ = 31, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Simpangan baku populasi adalah 31. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 95% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?

σ = 31E = 395%
n =
9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
−1,961,96z = ?

Dua lini produksi membuat komponen yang sama. Lini 1: sampel 100 komponen memiliki rata-rata panjang 83,5 mm, dan simpangan baku lini yang diketahui 17 mm. Lini 2: sampel 50 komponen memiliki rata-rata 88,4 mm, simpangan baku diketahui 3 mm. Tentukan statistik uji z untuk H₀: μ₁ = μ₂, dengan selisih x̄₁ − x̄₂ (lini 1 dikurangi lini 2).

n₁ = 100x̄₁ = 83,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 50x̄₂ = 88,4 mmσ₂ = 3 mm
z =
10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,01βσ = 7, kuasa 80%, n = ?

Uji z satu sisi pada α = 0,01 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 3 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 7. Tentukan ukuran sampel minimum n.

α = 0,01kuasa = 80%δ = 3σ = 7zα = 2,326zβ = 0,842
n =
11.Regresi linear & korelasiSedang
xy254462671879109112105xy5106080100

Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Jumlah-jumlahnya diberikan. Cari koefisien korelasi Pearson r dari jumlah-jumlah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 462Σx² = 364Σy² = 37348Σxy = 3584
r =
12.Regresi linear & korelasiSulit
xy16681989221042512228137xy2025100x = 26,5

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Prediksikan ŷ untuk x = 26,5.

n = 5x = 26,5
ŷ =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 13,27

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 181/5 = 36,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−19,2)² + 5,8² + 11,8² + 9,8² + (−8,2)² = 704,8

Simpangan baku

s = √(704,8/4) = 13,27

Jawaban

s = 13,27
2.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,06681

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Standarkan

z = 1,5

Tabel normal baku

Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Jawaban

P = 0,06681
3.Peluang

Jawaban: σ = 0,8047

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variansi

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
σ = √0,6475 = 0,8047

Jawaban

σ = 0,8047
4.Peluang

Jawaban: σY = 10,9

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 3,5, Var(X) = 4,75, σX = 2,179

Perubahan linear

σY = |5|·2,179 = 10,9

Jawaban

σY = 10,9

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·3,5 + 1 = 18,5.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,6554

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standarkan

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Jawaban

P = 0,6554
6.Distribusi normal

Jawaban: x = 187 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,9

z dari tabel

z ≈ 1,28

Kembali ke satuan semula

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Jawaban

x = 187 cm
7.Selang kepercayaan

Jawaban: E₂ = 1,667

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rasio margin

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/450) = 0,3333

Margin baru

E₂ = 5·0,3333 = 1,667

Jawaban

E₂ = 1,667
8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 411

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,96·31/3)² = 410,2

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 411

Jawaban

n = 411
9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: z = −2,797

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Galat baku selisih

SE = √(17²/100 + 3²/50) = √3,07 = 1,752

Statistik uji

z = (83,5 − 88,4)/1,752 = −2,797

Jawaban

z = −2,797

|z| > 1,96, jadi H₀ ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: n = 55

Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2,326 + 0,842)·7/3)² = 54,64

Bulatkan ke atas

n = 55

Jawaban

n = 55
11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9932

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Jumlah terpusat

Sxy = 3584 − 42·462/6 = 350
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 37348 − 462²/6 = 1774

Koefisien korelasi

r = 350/√(70·1774) = 0,9932

Jawaban

r = 0,9932
12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: ŷ = 129,7

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 520/5 = 104

Jumlah kuadrat dan hasil kali

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

Garis regresi

b = 513/90 = 5,7
a = 104 − 5,7·22 = −21,4
ŷ = −21,4 + 5,7·x

Prediksi

ŷ = −21,4 + 5,7·26,5 = 129,7

Jawaban

ŷ = 129,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1