Statistika Dasar: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

Selang kepercayaan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z kritis: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Ukuran sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Metode

Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
Selang: x̄ ± E.

Uji hipotesis & selang kepercayaan

Uji z untuk rata-rata: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Uji t untuk rata-rata: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua sisi pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1,96
Selang kepercayaan: x̄ ± z·σ/√n

Metode

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.

Regresi linear & korelasi

Jumlah kuadrat: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kemiringan: b = S_xy/S_xx
Intersep: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Soal latihan

1.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 52, 40, 32, 38, 40, 21, 34.

n = 7

s =

2.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 12. Tentukan skor z z untuk nilai 152.

μ = 170σ = 12x = 152

z =

3.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 8 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 8

P =

4.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 5. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,3, 0,15, 0,2Y = −2X + 5

σ_Y =

5.Distribusi normalSedang

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 62 dan 85 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 85

P =

6.Distribusi normalSulit

tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Seret batas sehingga 60% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.Selang kepercayaanSedang

Tekanan darah 7 pasien diukur sebelum dan sesudah suatu perawatan. Selisih d = sebelum − sesudah (mmHg) memiliki rata-rata 9,8 dan simpangan baku 2,4. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 95% untuk rata-rata selisih.

n = 7d̄ = 9,8s_d = 2,495%t(6) = 2,447

E = mmHg

8.Selang kepercayaanSulit

Simpangan baku populasi adalah 28. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 0,5?

σ = 28E = 0,590%

n =

9.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang

Sampel 49 mahasiswa memiliki nilai rata-rata 47,6 dan simpangan baku sampel 12. Tentukan statistik uji t untuk H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,6s = 12n = 49

t =

10.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit

Sampel 64 pengukuran memiliki rata-rata 43. Simpangan baku populasi 20. Tentukan batas bawah L selang kepercayaan 95% untuk rata-rata.

x̄ = 43σ = 20n = 6495%

L =

11.Regresi linear & korelasiSedang

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = beban dalam kN dan y = pertambahan panjang dalam mm. Cari koefisien korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSulit

Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 62?

n = 5ŷ = 62

x =

3Larutan

1.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 9,429

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 257/7 = 36,71

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 15,29² + 3,286² + (−4,714)² + 1,286² + 3,286² + (−15,71)² + (−2,714)² = 533,4

Simpangan baku

s = √(533,4/6) = 9,429

Jawaban

s = 9,429

2.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1,5

Standarkan

z = (152 − 170)/12 = −1,5

Jawaban

z = −1,5

3.Peluang

Jawaban: P = 0,7674

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Jawaban

P = 0,7674

4.Peluang

Jawaban: σ_Y = 22,45

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Sebaran X

μ = 22, Var(X) = 126, σ_X = 11,22

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·11,22 = 22,45

Jawaban

σ_Y = 22,45

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·22 + 5 = −39.

5.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5952

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Luas di antara

P = Φ(2) − Φ(−0,3) = 0,9772 − 0,3821 = 0,5952

Jawaban

P = 0,5952

6.Distribusi normal

Jawaban: x = 176,3 cm

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,4

z dari tabel

z ≈ −0,25

Kembali ke satuan semula

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Jawaban

x = 176,3 cm

7.Selang kepercayaan

Jawaban: E = 2,22 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai kritis

df = 6, t = 2,447

Margin galat

E = 2,447·2,4/√7 = 2,22

Jawaban

E = 2,22 mmHg

8.Selang kepercayaan

Jawaban: n = 8487

Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1,645·28/0,5)² = 8486

Bulatkan ke atas

Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.

n = 8487

Jawaban

n = 8487

9.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: t = −1,4

Menguji rata-rata: statistik uji mengukur berapa galat baku rata-rata sampel dari nilai yang diklaim dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) jika σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) jika diestimasi dari sampel. Selang kepercayaan adalah x̄ ± (nilai kritis)·(galat baku).

Galat baku

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Statistik uji

t = (47,6 − 50)/1,714 = −1,4

Jawaban

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5% (dua sisi).

10.Uji hipotesis & selang kepercayaan

Jawaban: L = 38,1

Margin galat

E = 1,96·20/√64 = 4,9

Batas selang

L = 43 − 4,9 = 38,1

Jawaban

L = 38,1

11.Regresi linear & korelasi

Jawaban: r = 0,9957

Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.

Rata-rata

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 69/5 = 13,8

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 222,8

Koefisien korelasi

r = 94/√(40·222,8) = 0,9957

Jawaban

r = 0,9957

12.Regresi linear & korelasi

Jawaban: x = 19,01

Rata-rata

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 327/5 = 65,4

Jumlah kuadrat dan hasil kali

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

Garis regresi

b = 138/40 = 3,45

a = 65,4 − 3,45·20 = −3,6

ŷ = −3,6 + 3,45·x

Selesaikan untuk x

x = (62 − (−3,6))/3,45 = 19,01

Jawaban

x = 19,01

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1